默比烏斯帶

莫比烏斯帶本身具有很多奇妙的性質。如果從中間剪開一個莫比烏斯帶，不會得到兩個窄的帶子，而是會形成一個把紙帶的端頭扭轉了兩次再結合的環（並不是梅比斯環），再把剛剛做出那個把紙帶的端頭扭轉了兩次再結合的環從中間剪開，則變成兩個環。如果你把帶子的寬度分為三分，並沿着分割線剪開的話，會得到兩個環，一個是窄一些的莫比烏斯帶，另一個則是一個旋轉了兩次再結合的環。另外一個有趣的特性是將紙帶旋轉多次再粘貼末端而產生的。比如旋轉三個半圈的帶子再剪開後會形成一個三葉結。剪開帶子之後再進行旋轉，然後重新粘貼則會變成數個Paradromic。

莫比烏斯帶常被認為是無窮大符號“∞”的創意來源，因為如果某個人站在一個巨大的莫比烏斯帶的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去，他就永遠不會停下來。但是這是一個不真實的傳聞，因為“∞”的發明比莫比烏斯帶還更要早。

一個利用參數方程式創造出立體莫比烏斯帶的方法：

這個方程組可以創造一個邊長為1半徑為1的莫比烏斯帶，所處位置為x-y面，中心為（0，0，0）。參數u在v從一個邊移動到另一邊的時候環繞整個帶子。

如果用圓柱座標系（r,θ,z）表示的話，一個無邊界的莫比烏斯帶可以表示為：

從拓撲學上來講，莫比烏斯帶可以定義為矩陣[0,1]×[0,1]，邊由在0≤x≤1的時候（x,0）~（1-x,1）決定。

莫比烏斯帶是一個二維的緊緻流形（即一個有邊界的面），可以嵌入到三維或更高維的流形中。它是一個不可定向的的標準範例，可以看作RP#RP。同時也是數學上描繪纖維叢的例子之一。特別地，它是一個有一纖維單位區間，I= [0,1]的圓S上的非平凡叢。僅從莫比烏斯帶的邊緣看去給出S上一個非平凡的兩個點（或Z₂）的從。

和莫比烏斯帶非常近似的一個幾何學物體叫做克萊因瓶。一個克萊因瓶可以用粘貼兩個莫比烏斯帶的方法制作出來。但是如果物體不進行自我交叉，這個步驟在三維空間內是不可能完成的。 ^[2] 

另外一個相近的結構是實射影平面。如果在實射影平面上有一個洞的話，從左側看就會形成一個莫比烏斯帶。或者把莫比烏斯帶的邊界進行有限定義，就會形成一個真投影屏面。更形象地説法是重建莫比烏斯帶的邊緣形成一個普通的環。有一種普遍的誤解認為如果不進行平面的自我交叉就無法在三維空間內形成一個有普通環邊緣的莫比烏斯帶。事實上是可能的，方法是這樣的：定義C為xy面上的單位圓，現在連接C上面的對蹠點，比如θ和θ + π。當θ在0到π/2之間運動的時候，在xy面上方做這條線的反餘切，其他情況則在面下做反餘切。