纖維叢

纖維叢為座標叢的等價類。或者説，纖維叢是擁有極大叢圖冊的座標叢。 ^[5] 

一個纖維叢由四元組(E,π,M,F)組成，其中E,M,F是拓撲空間，而π:E→M是一個滿態射，且滿足以下條件：

對於M中的每個x，存在一個x的開鄰域U⊆M，使得以下的圖可交換：

其中Proj1:U×F→U是自然投影，而φ_U:π^-1(U)→U×F是一個同胚。所有{(U,φ_U)}的集合稱為叢的局部平凡化。

M稱為叢的底空間，E稱為全空間，而F稱為標準纖維，π稱為投射。 ^[4] 

對於M中每個x，原像π^-1(x) 同胚於F，稱為x上的纖維。一個纖維叢(E,π,M,F,G)經常記為以引入一個空間的短正合列。注意每個纖維叢π:E→M都是一個開映射，因為積空間的投影是開映射。所以M有由映射

決定的商拓撲。

纖維叢為纖維化。

設ι_t:B→B×I為嵌入ι_t(b)=(b,t)，ξ為B×I上的纖維叢，則有

。 ^[5] 

一個光滑纖維叢是一個在光滑流形範疇內的纖維叢。也就是説，E、B、F都必須是光滑流形而所有上面用到的連續映射都必須是光滑映射，這是纖維叢研究和使用的通常環境。

每個纖維叢是一個連續滿射π:E→B，使得E對於某個F (稱為纖維）局部看來像直積空間B×F（這裏局部表示在B上局部），一個可以整體上如此表達的叢（通過一個保持的同胚）叫做平凡叢。叢的理論建立在如何用一些比這個直接的定義更簡單的方法表達叢不是平凡叢的意義的問題之上。

纖維叢擴展了向量叢，向量叢的重要實例就是流形的切叢和餘切叢。他們在微分拓撲和微分幾何領域有着重要的作用，也是規範場論的基本概念。 ^[1] 

纖維叢是拓撲乘積的推廣，產生於微分幾何研究，系統研究始於20世紀30年代。1936年瑞士數學家施蒂費爾考慮以微分流形的每一點為原點的有限個線性獨立向量場，引入流形的微分同胚不變量。1937年美國數學家惠特尼把流形及以其上每一點為原點的線性獨立的切向量組全體總括在一起而得到纖維叢的概念。他還證明了微分流形的嵌入定理，正式創立微分拓撲學。1946年陳省身認識到E.嘉當的聯絡的幾何學思想與纖維叢理論有密切關係，從而把微分幾何推進到大範圍的情形。20世紀50年代初，法國數學家塞爾在É.嘉當的指導下，在代數拓撲學方面做出重要貢獻。他發展了纖維叢概念，得出一般纖維空間概念。1951年美國數學家斯廷羅德出版《纖維叢的拓撲》一書，系統總結了纖維叢理論。纖維叢的截面的存在性問題與阻礙理論有關，由此得到底空間的某些上同調類，稱之為示性類。施蒂費爾、惠特尼、陳省身和原蘇聯數學家龐特里亞金、中國數學家吳文俊都在示性類研究中做出重要貢獻。近幾十年來纖維叢理論在示性類、纖維叢上的同調與同倫等方面繼續獲得發展，並在微分幾何學、代數幾何學、複變函數與複流形理論以及大範圍分析學等方面有廣泛而深刻的應用，還成為物理學中表達規範場的合適的數學語言。

令E=B×F 並令π:E→B為對第一個因子的投影，則E是B上的叢。這裏E不僅是局部的積而且是整體的積。任何這樣的纖維叢稱為平凡叢。

相應的平凡叢B×F看起來像一個圓柱，但是莫比烏斯帶有個整體上的扭轉。注意這個扭轉只有整體上才能看出來；局部看來莫比烏斯帶和圓柱完全一樣（在其中任何一個豎直的切一刀會產生同樣的空間）。

一個類似的非平凡叢是克萊因瓶，它可以看作是一個"扭轉"的圓在另一個圓上的叢。相應的平凡叢是一個環面，即S1 × S1。

一個覆蓋空間是一個以離散空間為纖維的纖維叢，纖維叢的一個特例，叫做向量叢，是那些纖維為矢量空間的叢（要成為一個向量叢，叢的結構羣—見下面—必須是一個線性羣），向量叢的重要實例包括光滑流形的切叢和餘切叢。 ^[2] 

纖維叢的截面 (section )是一個連續映射f:B→E使得π(f(x))=x對於所有B中的x成立。因為叢通常沒有全局有定義的截面，理論的一個重要作用就是檢驗和證明他們的存在性。這導致了代數拓撲的示性類理論。 ^[3] 

纖維叢的局部截面是一個連續映射，截面經常只被局部的定義（特別是當全局截面不存在時）。

纖維叢的局部截面是一個連續映射

: U → E 其中 U 是一個B中的開集而π(f(x))=x對所有U中的x成立。若(U,φ)是一個局部平凡化圖，則局部截面在 U上總是存在的。這種截面和連續映射U → F有一一對應。截面的集合組成一個層。