莫比烏斯帶

公元1858年，兩名德國數學家莫比烏斯和約翰·李斯丁發現，一個扭轉180度後再兩頭粘接起來的紙條，與普通紙帶具有兩個面(雙側曲面)不同，這樣的紙帶只有一個面(單側曲面)，一隻小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣！這一神奇的單面紙帶被稱為“莫比烏斯帶”(Möbius strip) 。 ^[1] 

作為一種典型的拓撲圖形，莫比烏斯帶引起了許多科學家的研究興趣，並在生活和生產中有了一些應用。例如，用皮帶傳送的動力機械的皮帶、打印機上的色帶,做成“ 莫比烏斯帶” 狀,這樣增大了磨損面積,壽命也就延長了。 ^[2] 

2003年12月28日《科技日報》報道德國科學家成功合成了穩定的“莫比烏斯”芳香族化合物 ^[3]  ；而此後對“莫比烏斯”芳香族化合物的研究越來越向縱深發展。

據發表在《自然·合成》雜誌上的論文，2022年5月20日，日本名古屋大學等組成的研究團隊在英國科學雜誌上發佈成果稱，在世界首次合成了一種帶狀分子納米碳，具有扭曲的莫比烏斯帶拓撲結構，即莫比烏斯碳納米帶。 ^[4] 

莫比烏斯帶不但應用於自然科學領域。同時也為諸多的文學家提供了素材，構思了許多品位極佳的科幻作品。 ^[5] 

拿一張白的長紙條，把一面塗成黑色，然後把其中一端扭轉180°，再把兩端連上，就成為一個莫比烏斯帶。

我們把一個莫比烏斯環沿中線剪開，曲面並不被分成兩部分，而是成為一個雙側曲面，它可以由一個矩形紙條扭轉360°， ^[6]  再將對邊粘合而成。將莫比烏斯紙環沿着三等分線剪開，會在剪完2個圈後又回到原點，形成一大一小相互套連的兩個環，大環周長是原莫比烏斯環的兩倍，小環周長與原莫比烏斯環相同。

如果我們進一步實驗，將莫比烏斯環沿4等分線剪開，我們會發現下面的現象：居然剪出了兩個互相鏈接的紙環，展開2個紙環並拉直，可以看出2個紙環是一樣長的。

將莫比烏斯環沿5等分線剪開，則可以剪出3個互相鏈接的紙環，展開3個紙環並拉直，可以看出其中2個環一樣長，另一個環長度是其他兩環的一半。將莫比烏斯環沿6等分線剪開，可以剪出3個互相鏈接的紙環，展開3個環可以看到，3個環一樣長。

新得到的這個較長的紙圈，本身卻是一個雙側曲面，它的兩條邊界自身雖不打結，但卻相互套在一起。把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了，得到的是兩條互相套着的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含於兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身並不打結罷了。

相反，拿一張白的長紙條，把一面塗成黑色，把其中一端360度翻一個身，粘成一個雙側曲面。用剪刀沿紙帶的中央把它剪開。紙帶不僅沒有一分為二，反而剪出兩個環套環的雙側曲面。

莫比烏斯帶還有更為奇異的特性。一些在平面上無法解決的問題，卻不可思議地在莫比烏斯帶上獲得瞭解決。

比如在普通空間無法實現的"手套易位"問題：人左右兩手的手套雖然極為相像，但卻有着本質的不同。我們不可能把左手的手套完全貼合於右手；也不能把右手的手套完全貼合於左手。無論你怎麼扭來轉去，左手套永遠是左手套，右手套也永遠是右手套。不過，倘若把類似的想法運用到莫比烏斯帶上來，那麼解決起來就易如反掌了。

在自然界有許多物體也類似於手套那樣，它們本身具備完全相像的對稱部分，但一個是左手系的，另一個是右手系的，它們之間有着極大的不同。

製作過程中把紙帶一端旋轉180度可以，旋轉540度、900度……都符合莫比烏斯帶的定義。（在省略號中的數為180的奇數倍均可以）

可以用參數方程式創造出立體莫比烏斯帶：

這個方程組可以創造一個邊長為1半徑為1的莫比烏斯帶，所處位置為x-y面，中心為（0，0，0），參數u在v從一個邊移動到另一邊的時候環繞整個帶子。

從拓撲學來講，莫比烏斯帶可以定義為矩形[0,1]×[0,1]，邊由在0≤x≤1的時候按（x,0）（1-x,1）的方式進行粘合得到。

莫比烏斯帶是一個二維的緊緻流形（即一個有邊界的面），可以嵌入到三維或更高維的流形中。它是一個不可定向的的標準範例，可以看作2維實射影平面去掉一個圓盤。同時也是數學上描繪纖維叢的例子之一。特別地，它是一個以單位區間I= [0,1]為纖維，圓S上的非平凡叢。僅從莫比烏斯帶的邊緣看去給出S上一個非平凡的兩個點（或

）的叢。

莫比烏斯帶是一種拓撲圖形，它們在圖形被彎曲、拉大、縮小或任意的變形下保持不變，只要在變形過程中不使原來不同的點重合為同一個點，又不產生新點。換句話説，這種變換的條件是：在原來圖形的點與變換了圖形的點之間存在着一一對應的關係，並且鄰近的點還是鄰近的點。這樣的變換叫做拓撲變換。拓撲有一個形象説法——橡皮幾何學。因為如果圖形都是用橡皮做成的，就能把許多圖形進行拓撲變換。例如一個橡皮圈能變形成一個圓圈或一個方圈。但是一個橡皮圈不能由拓撲變換成為一個阿拉伯數字8，因為不把圈上的兩個點重合在一起，圈就不會變成8。 ^[4]