開映射

在泛函分析中，開映射是一類特殊的映射。如果巴拿赫空間之間的連續函數是滿射的，那麼它就是一個開映射(open mapping)。

如果X和Y是巴拿赫空間，A: X → Y是一個滿射的連續線性算子，那麼A就是一個開映射（也就是説，如果U是X內的開集，那麼A(U)在Y內是開放的）。

該定理的證明用到了貝爾綱定理，X和Y的完備性都是十分重要的。如果僅僅假設X或Y是賦範空間，那麼定理的結論就不一定成立。然而，如果X和Y是弗雷歇空間，那麼定理的結論仍然成立。 ^[1] 

（1）從離散空間到離散空間的任何映射都是開映射；

證明：設

為離散空間 X 到離散空間 Y 的映射， 對 X 中任一開集 U， 因為Y是離散空間， 所以

是 Y 中的一個開集，即 f 是一個開映射。

（2）從平庸空間到離散空間的任何映射都是開映射；

證明：設 f: X→Y為平庸空間X到離散空間Y的映射， 因為

包含於Y， 而Y為離散空間， 所以

和

為 Y 中的開集，即f是一個開映射。

（3）設 X 和 Y 是兩個拓撲空間，映射

為同胚，則映射

為一個開映射。

證明：設U是X的任意開集，由於映射

為同胚， 則

也是同胚， 因而

是連續映射。對X的任意開集U，有

為 Y 中的開集，從而

為一個開映射。

（4）設X和Y是兩個拓撲空間，映射

為一一映射，若 f 為連續的開映射，則

為同胚。

證明：欲證明

為同胚， 由已知條件， 只需證明

連續即可。對X中的任意開集U有

。由於f為開映射，故

為 Y 中的開集，從而説明

連續。

這樣即有如下結論：X和Y是兩個拓撲空間，為同胚的充要條件是f為一一的連續開映射。

（5）設 X，Y 和 Z 是拓撲空間，映射

和

都為開映射，則

也為開映射。

證明：設W為Z中的任意開集， 由

為開映射有

為Y中的開集， 再由

為開映射得

為 Z 中的開集． 而

， 所以

為 Z 中的開集， 這就證明了

為開

映射。

（6）設 X 和 Y 是兩個拓撲空間，

是一個滿的連續開映射，則Y的拓撲是相對於滿射f而言

的商拓撲。 ^[2] 

（1）如果

是巴拿赫空間X和Y之間的雙射連續線性算子，那麼反函數

也是連續的。

（2）如果

是巴拿赫空間X和Y之間的線性算子，且如果對於X內的每一個序列

，只要

且

就有y = 0，那麼A就是連續的（閉圖像定理）。

開映射定理是指如果巴拿赫空間之間的連續函數是滿射的，那麼它就是一個開映射。

我們需要證明，如果

是巴拿赫空間之間的連續線性滿射，那麼A就是一個開映射。為此，只需證明A把X內的單位球映射到Y的原點的一個鄰域。

設U，V分別為X和Y內的單位球。那麼X是單位球的倍數kU的序列的並集，k∈ N，且由於A是滿射，

根據貝爾綱定理，巴拿赫空間Y不能是可數個無處稠密集的並集，故存在k > 0，使得A(kU)的閉包具有非空的內部。因此，存在一個開球B(c, r)，其中心為c，半徑r > 0，包含在A(kU)的閉包內。如果v∈ V，那麼c + rv和c位於B(c, r)內，因此是A(kU)的極限點，根據加法的連續性，它們的差rv是

包含於

的極限點。根據A的線性，這意味着任何都位於A(δ₁U)的閉包內，其中δ =r/ (2k)。於是可以推出，對於任何

和任何ε > 0，都存在某個

，滿足：

並且

固定y\in V。根據上式，存在某個x_1，滿足| |x₁| |且||y − A x₁||<δ / 2。定義序列

如下。假設：

並且

我們可以選擇x_{n+ 1}，使得：

且

因此x_{n+ 1}滿足。設

從第一個不等式可知，{s_n}是一個柯西序列，且由於X是完備的，s_n收斂於某個

。序列

趨於y，因此根據A的連續性，有Ax=y。而且：

這表明每一個

都屬於A(2U)，或等價地，X內的單位球的像A(U)包含了Y內的開球(δ / 2)V。因此，A(U)是Y內0的鄰域，定理得證。

X 或Y 的局部凸性不是十分重要的，但完備性則是：當X和Y是F空間時，定理仍然成立。更進一步，這個定理可以用以下的方法與貝爾綱定理結合：

設X為F空間，Y為拓撲向量空間。如果

是一個連續線性算子，那麼要麼A(X)是Y內的貧集，要麼A(X)= Y。在後一個情況中，A是開映射，Y也是F空間。

更進一步，在這個情況中，如果N是A的核，那麼A有一個標準分解，形如下式：

其中X/N是X對閉集N的商空間（也是F空間）。商映射X→X/N是開放的，且映射α是拓撲向量空間的同構。 ^[3]