開映射定理

設

與

為巴拿赫空間，

為連續滿射，則A為開映射。 ^[3] 

開映射定理有一些重要的結果 ^[1]  ：

1.如果

是巴拿赫空間X和Y之間的雙射連續線性算子，那麼逆算子

也是連續的。(Rudin 1973, 推論2.12) ；

2.如果

是巴拿赫空間X和Y之間的線性算子，且如果對於X內的每一個序列(

)，只要x_n → 0且

就有

，那麼A就是連續的（閉圖像定理）。(Rudin 1973, 定理2.15)。

我們需要證明，如果

是巴拿赫空間之間的連續線性滿射，那麼

就是一個開映射。為此，只需證明

把

內的單位球映射到

的原點的一個鄰域。

設

分別為

和

內的單位球。那麼

是單位球的倍數

的序列的並集，

，且由於

是滿射，

根據貝爾綱定理，巴拿赫空間

不能是可數個無處稠密集的並集，故存在

，使得

的閉包具有非空的內部。因此，存在一個開球

，其中心為

，半徑

，包含在

的閉包內。如果

，那麼

和

位於

內，因此是

的極限點，根據加法的連續性，它們的差

是

的極限點。根據A的線性，這意味着任何

都位於

的閉包內，其中

。於是可以推出，對於任何

和任何

，都存在某個

，滿足：

且

(1)

固定

。根據(!)，存在某個

，滿足

且

||y−A x ₁||<δ / 2。定義序列

如下。假設：

且

根據(1)，我們可以選擇

，使得：

且

因此

滿足(2)。

設

從(2)的第一個不等式可知，

是一個柯西序列，且由於

是完備的，

收斂於某個

。根據(2)，序列

趨於

，因此根據A的連續性，有

。而且：

這表明每一個

都屬於

，或等價地，

內的單位球的像

包含了Y內的開球

。因此，

是

內0的鄰域，定理得證。

或

的局部凸性不是十分重要的，但完備性則是：當

和

是F空間時，定理仍然成立。更進一步，這個定理可以用以下的方法與貝爾綱定理結合(Rudin, 定理2.11)：

設

為F空間，

為拓撲線性空間。如果

是一個連續線性算子，那麼要麼

是

內的貧集，要麼

。在後一個情況中，

是開映射，

也是

空間。 更進一步，在這個情況中，如果

是

的核，那麼

有一個標準分解，形如下式 ^[2]  ：

其中

是

對閉子空間

的商空間（也是

空間）。商映射

是開放的，且映射

是拓撲線性空間的同構(Dieudonné, 12.16.8)。