無處稠密集

（1）拓撲空間(X,τ)，A⊆X，稱A是無處稠密的（亦稱稀疏的，或稱A為無處稠密集、稀疏集，疏朗集），當且僅當A的閉包的內部是空集。 ^[1]  或者説，A是無處稠密集，當且僅當A的閉包不含內點，或A的閉包不包含任何鄰域。

（2）如果A不在X的任何一個非空開子集中稠密，就稱A是無處稠密集。即對於X的任意一個非空開子集E，A在E中都不稠密。對於X的任意一個非空開子集E，A在E中稠密即是指對任意x∈E以及任意ε>0，鄰域B(x,ε)中都有A的點。因此無處稠密的意思就是指，對於X的任意一個非空開子集E，存在某個x₀∈E以及某個ε₀>0，使得鄰域B(x₀,ε₀)中沒有A的點。

注意，“對於X的任意一個非空開子集E”這個條件是必要的，即A必須在X的任何一個開子集中都不稠密，才能被稱作無處稠密。如果只是某些開子集中不稠密，而在另一些開子集中稠密，這不叫做無處稠密集。

證明：（1）推（2），設A的閉包不含內點，那麼對X的任意一個非空開子集E，集合

。這是因為假設

，那麼

。然而E是非空開集，開集中的每個點都是內點，即A的閉包中每個點都是內點，這與A的閉包不含內點矛盾。既然

，而開集與閉集（任一集合的閉包一定是閉集）的差集仍是開集，可知

是開集。根據U是開集的事實可知，存在某個x₀∈U⊆E以及某個ε₀>0，鄰域B(x₀,ε₀)⊆U。再根據差集的定義，U中不含

的點，因此B(x₀,ε₀)也不含

的點。然而

，不含

的點即意味着不含A的點，結合E的任意性即可得到：對於X的任意一個非空開子集E，存在某個x₀∈E以及某個ε₀>0，使得鄰域B(x₀,ε₀)中沒有A的點。

（2）推（1），反證法，假設A的閉包含有內點，或A的閉包包含了某個鄰域E，此時E中任意一點都屬於A的閉包。根據閉包的定義，A的閉包中的點均滿足：任意一點的任何一個鄰域與A的交集都非空。因為E中任意的點都屬於A的閉包，所以E中任意一點的任意一個鄰域與A的交集非空，這就表示A在E中稠密。然而，這與A是無處稠密集矛盾。

（1）若E在X中無處稠密，則

也在X中無處稠密，反之亦然。

這是因為若E是無處稠密集，則

無內點。因為

是閉集，所以

，所以

無內點。而

無內點就意味着

是無處稠密集。反之亦然。

（2）E在X中無處稠密的充要條件是

在X中稠密。

必要性：設E在X中無處稠密，

，要證明U在X中稠密，只需要證明

。根據閉包和內部的對偶性，

，因此U在X中稠密，即

在X中稠密。

充分性：設

在X中稠密，

，則

。兩邊取補集，

，即E的閉包不含內點，因此E在X中無處稠密。

注意，E在X中無處稠密也可推出E^c在X中稠密，按照必要性的推理過程，要證E^c稠密，只要證

，亦即

。若假設E含內點，則存在內點p的某個鄰域B(p)，使得

，即

含有鄰域，這與E是無處稠密集矛盾。因此

，即E^c在X中稠密。這也就是説，無處稠密集的補集一定是稠密集。

但稠密集的補集不一定是無處稠密集，例如有理數集Q在R中稠密，但有理數集的補集，即無理數集並不無處稠密，事實上無理數集也是個稠密集。

例如，整數在實數軸R上就形成了一個無處稠密集。這是因為數軸上任何一個開區間，只要取某個子區間落在任意兩個整數之間，那麼這個子區間不包含任何整數點，因此整數集Z在R內無處稠密。

注意運算的次序是很重要的，內部的閉包為空，不代表閉包的內部也為空。例如，有理數集Q，它沒有內點，因為無理數集的稠密性，不存在這樣的有理數p，使得p的某個鄰域上全部是有理數，因此Q的內部是空集。而空集是閉集，Q的內部的閉包（注意不是“閉包的內部”）就是空集本身。但Q不是無處稠密集，實際上，它在R上是稠密的，正好相反。

無處稠密與周圍的空間也有關：有可能把一個集合考慮為X的子空間時就是無處稠密的，但考慮為Y的子空間時，就不是無處稠密的。顯然，一個集合在它本身中總是稠密的。

一個無處稠密集不一定是閉集（例如，集合

在實數集上是無處稠密集），但一定是包含在一個無處稠密的閉集（即它的閉包）內。確實，一個集合是無處稠密集，當且僅當它的閉包是無處稠密集。

無處稠密的閉集的補集是一個稠密的開集，因此無處稠密集的補集是內部為稠密的集合。

一個無處稠密集並不一定就是可忽略的。例如，如果X位於單位區間[0,1]，不僅有可能有勒貝格測度為零的稠密集（例如有理數集），也有可能有測度為正數的無處稠密集。

例如（一個康托爾集的變體），從[0,1]內移除所有形為a/2ⁿ的最簡二進分數，以及旁邊的區間[a/2ⁿ−1/2²ⁿ⁺¹,a/2ⁿ+1/2²ⁿ⁺¹]；由於對於每一個n，這最多移除了總和為1/2²ⁿ⁺¹的區間，留下的無處稠密集的測度就至少是1/2（實際上剛剛大於0.535……，因為重疊的原因），因此在某種意義上表示了[0,1]的大多數空間。

把這個方法進行推廣，我們可以在單位區間內構造出任意測度小於1的無處稠密集。 ^[2]