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極限點
鎖定
極限點是點列的收斂子列的極限，a是Rₑ中的點列{aₑ}的極限點的充分必要條件是a的任何鄰域內有{aₑ}的無窮多項，或等價地，對任意正整數e₀，在a的任何鄰域內都有{aₑ}的下標≥e₀的項，點列可以有一個或多個極限點，也可以沒有極限點。當且僅當只有一個極限點時點列收斂，每個有界點列至少有一個極限點。對實數列，為了便於處理某些問題，也把定向發散子列的極限(即±∞)算作極限點，這樣，實數列的極限點就是它的收斂子列或定向發散子列的極限。根據收斂子列原理，實數列{aₑ}有上(下)界當且僅當{aₑ}的所有極限點的集合L有上(下)界，並且sup L∈L，inf L∈L，即sup L與inf L也是{aₑ}的極限點，因而是L的最大元與最小元(可以是+∞或-∞)。在文獻中，聚點與極限點這兩個名稱的使用是混亂的，許多人把數集的聚點稱為極限點，也有一些書籍把數列的極限點稱為數列的聚點。
[1]
- 中文名
- 極限點
- 外文名
- limit point
- 所屬學科
- 數理科學
- 相關概念
- 極限、拓撲空間、數列、點列等
- 定 義
- 點列的收斂子列的極限
極限點關於極限
在點集拓撲學中也有與極限相似的概念，叫做極限點。從字面上看，極限點是極限就要到達的那一點。有時所説極限是數列或函數的極限，是變動的數的極限，極限過程是變量。有時所説極限是點列或映象的極限，是變動的點的極限，極限過程是動點。
[2]
極限點度量空間點列
定義1
定義2
例1 無限恆常數列
的極限點或極限均是x。
例2設
是離散拓撲空問，
，任意x∈X，
是含x的開球，若要點列
收斂於x，則含x的開球必須包含
幾乎所有的項，之後的項均為X，從而
。
例3設
是平凡拓撲空間，任意點x∈X，若
是X中的點列，則因為
中只有一個非空集X，所以包含x的球只有X，從而點列
收斂於X的任一點x。
極限點極限點的定義
定義3
設
是拓撲空間，
，若對每個
中的集合B，s∈B，有
註記2：定義3是在非度量拓撲空間中極限點的定義，它比定義1和定義2更廣泛，一般不具唯一性。
定理1
設X是非空集，
是平凡拓撲．即
，則以下3個結論成立：
(1)若A是空集，則A無極限點；
(2)若A是單點集，其元素為
，則只要
，x都是A的極限點；
(3)若A至少有2個元素，則A中每一點都是A的極限點。
極限點雙核拓撲會計
定理2
設
是離散拓撲空間，
。則
不可能是任何
的極限點。
定理3
雙核拓撲會計空間資產核
中，若
，則所有資產核綱目都不存在極限點。
證明
是X的所有子集的系，即
，由定理2，任何
不可能是任何綱目
的極限點。
定理4
證明 同定理3的證明。
註記3：雙核拓撲會計空間Z沒有極限點，是因為我們為雙核會計空間選用了離散拓撲結構，由定理2．任何在單點集
中的點x都不可能是任何Z中的子集的極限點。
