賦範空間

向量的範數是長度概念的推廣。設

是域

（實數域或複數域）上的線性空間，函數

滿足條件：

1)對

；且

當且僅當

；

2)對

，有

（齊次性）；

3)對

，有

（三角不等式）。

稱

是

上的一個範數，

上定義了範數

稱為賦範(線性)空間，記為

，有時簡記為

。 ^[2] 

範數是一個連續函數，即當

時，

。 ^[5] 

線性運算是連續的，即當

及

時，

；

當

及

時，

。 ^[5] 

設

是賦範空間。如果

是完備的且級數

收斂，則級數

收斂且

。

反之，如果在一個賦範空間中，任意無窮級數

收斂必有級數

收斂，則空間是Banach空間。 ^[6] 

在一個賦範空間

中，通過範數可以自然地定義一個度量，

。

事實上，由範數公理，對

，且

，當且僅當

，即

；

；

。

稱賦範空間中這個距離是由範數誘導的度量。 ^[1] 

設

是賦範空間

中的點列，

，如果

，

稱

強（或按範）收斂於

，記為

，

或

。 ^[3] 

如果賦範空間按強收斂是完備的，就稱它為巴拿赫空間。 ^[4] 

賦範空間的對偶空間為巴拿赫空間。 ^[8] 

特別感興趣的是稱為巴拿赫空間的完備賦範空間。每個賦範空間V是巴拿赫空間內的一個稠子空間；這個巴拿赫空間本質上是由V定義的，稱為V的完備化。

如果（V，‖·‖）是賦範空間，則‖·‖引入度量（距離的概念），並因此導致V上的拓撲。該度量以自然的方式定義：兩個向量之間的距離u v由||u-v||給出。這種拓撲正是最弱的拓撲結構，使得“‖”連續，並且與以下意義上的V的線性結構兼容：

向量加法+：V×V→V相對於該拓撲結合是連續的。這直接來自三角不等式。

標量乘法：K×V→V，其中K是V的底層標量場，是聯合連續的。這取決於三角不平等和規範的均勻性。

類似地，對於任何半賦範空間，我們可以將兩個向量u和v之間的距離定義為‖u-v‖。這將把這個空間變成一個假的空間（注意這比一個度量要弱），並允許定義諸如連續性和收斂的概念。為了更抽象地説，每個半賦範空間是一個拓撲線性空間，因此承載了由半範數引起的拓撲結構。

有限維向量空間上的所有範數從拓撲觀點是等價的，因為它們誘導相同的拓撲（儘管所得的度量空間不必相同）。並且，由於任何歐幾里德空間是完備的，因此我們可以得出結論，所有有限維的賦範空間是巴拿赫空間。當且僅當單位球B = {x：‖x‖≤1}緊時，賦範空間V是局部緊的，當且僅當V是有限維的情況下才是這種情況；這是里斯引理的結果。 （事實上，更一般的結果是真實的：當且僅當它是有限維時，拓撲線性空間是局部緊的，這裏的意思是我們不假定拓撲來自一個範數。）

信號向量空間的拓撲具有許多不錯的屬性。給定一個約0的鄰域系

，我們可以構建所有其他鄰域系：

與：

此外，存在由吸收和凸集組成的0的鄰域基。由於該屬性在泛函分析中非常有用，因此在名稱為局部凸空間的情況下研究了具有該屬性的賦範空間的泛函。 ^[7]