對偶空間

設E為賦範空間，L(E,

)為E到

的連續線性映射組成的實巴拿赫空間，稱為E的對偶空間 ^[1]  。

考慮V*的對偶空間V**，存在從V到V**的自然映射

，定義為：

，

。

V和其對偶空間V*是同構的（因此dimV=dimV*）當且僅當dimV有限。同構映射的構造方式有兩個：

基於基的同構映射：給出V的基

，則可以通過以下方式映射至V*的基

：對

，

；對

，

。 ^[2] 

基於雙線性函數的同構映射：給定V上的一個雙線性函數

，可以誘導出同構映射

，其中

；反之給定同構映射

，也可以定義雙線性函數：

類似地，對V和雙對偶空間V**，當且僅當dimV有限時，自然映射

就是同構映射。

有限維向量空間V和其雙對偶空間V**存在自然同構。這意味着對有限維線性空間V，我們只需考慮V和V*即可，更多次的對偶可以用同構處理。

若V是無限維的，則V和V*不同構。進一步，dimV*>dimV。並且沒有簡單方法從V的基產生出V*的基。

對V和雙對偶空間V**，自然映射

是單射。

例：空間R的元素是實數列，其擁有很多非零數字。R的雙對偶空間是所有實數數列的空間。這些數列

被用於元素

而產生

。

在張量的語言中,V的元素被稱為逆變(contravariant)向量而V*的元素被稱為協變(covariant)向量，同向量(co-vectors)或一形(one-form)。

設

是線性映射。

的轉置

定義為

，

。

對任意向量空間 V，W，定義 L(V,W) 為所有從 V 到 W 的線性映射組成的向量空間。則f|-> f 產生從 L(V,W) 至L(W ,V )的單射 ；這是個同構當且僅當 W 是有維限的。

若 線性映射 f 表示作其對 V,W 的基之矩陣 A , 則 f 表示作其對 V ,W 的對偶基之 轉置矩陣。 若 g: W → X 是另一線性映射，則 (g o f) = f o g.

在範疇論的語言裏，為任何向量空間取對偶及為任何線性映射取轉置都是向量空間範疇的逆變函子。

對偶空間構造能夠在無限維度空間進行併為測度,分佈及希爾伯特空間提供重要的觀點。對偶空間的應用是泛函分析理論的一特徵。 傅立葉變換亦內藴對偶空間的概念。

處理拓撲向量空間時，我們一般僅感興趣於該空間射到其基域的連續線性泛函。由此導致連續對偶空間之概念，此乃其代數對偶空間之一子空間。向量空間 V 之連續對偶記作 V′。此脈絡下可逕稱連續對偶為對偶。

線性賦範向量空間 V （如一巴拿赫空間或一希爾伯特空間）之連續對偶 V′ 產生一線性賦範向量空間。對一 V 上之連續線性泛函。

其範數 ||φ|| 定義為 ^[3] 

此法變一連續對偶為一線性賦範向量空間，實為巴拿赫空間。

對任意有限維之 線性賦範向量空間或拓撲向量空間，正如歐幾里得空間，其連續與代數對偶不二。

令 1 < p < ∞ 為實數，並考慮所有序列 a = (an) 構成之巴拿赫空間，

使其範數

有限。以 1/p + 1/q = 1 定義 q， l 其連續對偶遂自然等同於 l：給定一元素 φ ∈ (l)， l 中相應元素為序列 (φ(en)) ，其中 en 謂第 n 項為 1 且餘項皆 0 之序列。反之，給定一元素 a = (an) ∈ l，l 上相應之連續線性泛函φ定為 φ(a) = ∑nanbn （對一切 a = (an) ∈ l）(見 H&ouml;lder不等式)。

准此， l之連續對偶亦自然同構於 l。再者，巴拿赫空間 c （賦以上確界範數之全體收斂序列）及c0（c 中收斂至零者）之連續對偶皆自然同構於 l。

若 V 為希爾伯特空間，則其連續對偶亦然，並反同構於 V；此蓋黎茲表示定理所明，物理學人賴以描述量子力學之bra-ket 符號肇端乎是。

類似雙重代數對偶，對連續線性算子亦有連續單射 Ψ : V → V ''，此映射實為等距同構，即 ||Ψ(x)|| = ||x|| 對一切 V 中 x 皆真。使 Ψ 為雙射之空間稱自反空間。

連續對偶賦 V 以一新拓撲，名弱拓撲。

若 V 之對偶可分，則 V 亦可分。反之則不然；試取空間 l1，其對偶 l∞ 不可分。