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雙線性函數
鎖定
雙線性函數,是內積概念的推廣,與線性函數類似,在有限維線性空間中,雙線性函數是由它對基的作用唯一確定的。
[2]
- 中文名
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雙線性函數
- 外文名
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bilinear function
- 本 質
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線性函數的推廣
- 推 廣
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半雙線性函數
- 領 域
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線性空間
- 學 科
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數學
雙線性函數函數性質
若V是有限維的,φ是V上的雙線性函數,且α1,α2,…,αn是V的基,則對α,β∈V,有
即若以α,β表示定義域為V的變量,則域P上n維線性空間V上的雙線性函數φ(α,β)可以表示為域P上變量x
1,x
2,…,x
n與y
1,y
2,…,y
n的雙線性型。
[1]
雙線性函數相關概念
1.以φ(α
i,α
j)作為(i,j)元素的n階矩陣(φ(α
i,α
j)
ij)稱為雙線性函數φ關於給定基的矩陣。
[1]
2.V上的雙線性函數φ關於不同基的矩陣A,B相互合同:A=XBX,其中X是原基底到新基底的過渡矩陣。
[1]
3.φ關於基的矩陣(a
ij)的秩亦稱為
φ的秩。
[1]
4.當(a
ij)非退化時,φ亦稱為
非退化的或滿秩的。
[1]
5.當(a
ij)為對稱(反對稱)矩陣時,φ亦稱為
對稱(反對稱)雙線性函數。
[1]
雙線性函數函數定義
半雙線性函數(sesquilinear function)是雙線性函數的推廣。設P為域,J是P的
自同構,域中元素k在J下的像記為k
J,而V
1,V
2是域P上的線性空間,V
1×V
2到P上的映射φ,若滿足:
1.對任意k1,k2∈P,α1,α2∈V1,β∈V2,有
φ(k1α1+k2α2,β)=k1φ(α1,β)+k2φ(α2,β);
2.對任意k1,k2∈P,α∈V1,β1,β2∈V2,有
φ(α,k1β1+k2β2)=k1Jφ(α,β1)+k2Jφ(α,β2);
則稱φ為V
1×V
2上關於J的半雙線性函數。
[1]
注:1.當J為恆等
自同構時,半雙線性函數即雙線性函數。
2.V×V上關於J的半雙線性函數φ稱為V上的半雙線性函數。
3.V中向量α,β在V上半雙線性函數φ下的像φ(α,β)稱為α與β的內積或純量積,常簡記為(α,β)。當(α,β)=0時,稱α與β左正交,也稱β與α右正交。
[1]
- 參考資料
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1.
《數學辭海》編輯委員會.數學辭海·第二卷:中國科學技術出版社,2002
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2.
西北工業大學高等代數編寫組編. 高等代數[M]. 西安:西北工業大學出版社, 2016.07.271頁