泛函

設E為賦範空間，則E的對偶空間的元稱為E的泛函。 ^[3] 

簡單的説， 泛函就是定義域是一個函數集，而值域是實數集或者實數集的一個子集，推廣開來， 泛函就是從任意的向量空間到標量的映射。也就是説，它是從函數空間到數域的映射。

設{y}是給定的函數集，如果對於這個函數集中任一函數y(x) 恆有某個確定的數與之對應，記為П(y(x))，則П(y(x))是定義於集合{y(x)}上的一個泛函。

泛函定義域內的函數為可取函數或容許函數， y(x) 稱為泛函П的變量函數。

泛函П(y(x))與可取函數y(x)有明確的對應關係。泛函的值是由一條可取曲線的整體性質決定的。

泛函也是一種“函數”，它的獨立變量一般不是通常函數的“自變量”，而是通常函數本身。泛函是函數的函數。由於函數的值是由自變量的選取而確定的，而泛函的值是由自變量函數確定的，故也可以將其理解為函數的函數

泛函的自變量是函數，泛函的自變量稱為宗量。

簡言之，泛函就是函數的函數。 ^[2] 

泛函分析是研究無限維抽象空間及其分析的學科。它是現代數學中發生根本性轉折的最明顯的表現。這種轉折，堪與世紀把變量引入數學而導致微積分的產生相比擬。它概括了經典數學分析的重要概念和方法，又滲入量子物理學、現代工程技術和現代力學的營養。它綜合運用分析的、代數的、幾何的方法，研究分析數學、現代物理和現代工程技術中的許多問題。它的特點是探求一般性和統一性，這也是世紀數學的特徵之一。它不是孤立的考察各個函數以及聯繫它們的關係和方程，而是把這些對象作為一個總體來研究，即研究函數空間和它們的變換，而古典分析是研究實數集合或複數集合上的函數的性質。泛函分析具有高度抽象的方法，即能把初看起來相距甚遠的問題十分巧妙的統一起來進行研究。

泛函分析有力的推動了其他分析分支的發展，使整個分析領域的面貌發生了巨大變化。同時，對幾何和拓撲也產生了重大影響。泛函分析的觀點與方法還廣泛滲透到其他科學與工程技術領域，泛函分析已經而且正在應用到廣義矩量問題、統計力學、偏微分方程的存在唯一性定理以及不動點定理。泛函分析現在在變分法和連續緊羣的表示論中都起着作用。它的內容還包含在代數、近似算法、拓撲和實變函數論中。 ^[1] 

十九世紀以來，數學的發展進入了一個新的階段。這就是，由於對歐幾里得第五公設的研究，引出了非歐幾何這門新的學科；對於代數方程求解的一般思考，最後建立並發展了羣論；對數學分析的研究又建立了集合論。這些新的理論都為用統一的觀點把古典分析的基本概念和方法一般化準備了條件。

二十世紀初，瑞典數學家弗列特荷姆和法國數學家阿達瑪發表的著作中，出現了把分析學一般化的萌芽。隨後，希爾伯特和海令哲開創了“希爾伯特空間”的研究。到了二十年代，在數學界已經逐漸形成了一般分析學，也就是泛函分析的基本概念。

由於分析學中許多新部門的形成，揭示出分析、代數、幾何的許多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代數方程求根和微分方程求解都可以應用逐次逼近法，並且解的存在和唯一性條件也極其相似。這種相似在積分方程論中表現得就更為突出了。泛函分析的產生正是和這種情況有關，有些乍看起來很不相干的東西，都存在着類似的地方。因此它啓發人們從這些類似的東西中探尋一般的真正屬於本質的東西。

非歐幾何的確立拓廣了人們對空間的認知，n維空間幾何的產生允許我們把多變函數用幾何學的語言解釋成多維空間的影響。這樣，就顯示出了分析和幾何之間的相似的地方，同時存在着把分析幾何化的一種可能性。這種可能性要求把幾何概念進一步推廣，以至最後把歐氏空間擴充成無窮維數的空間。

這時候，函數概念被賦予了更為一般的意義，古典分析中的函數概念是指兩個數集之間所建立的一種對應關係。現代數學的發展卻是要求建立兩個任意集合之間的某種對應關係。這裏我們先介紹一下算子的概念。算子也叫算符，在數學上，把無限維空間到無限維空間的變換叫做算子。研究無限維線性空間上的泛函數和算子理論，就產生了一門新的分析數學，叫做泛函分析。在二十世紀三十年代，泛函分析就已經成為數學中一門獨立的學科了。 ^[1] 

如果連續泛函滿足下列條件：

其中C為任意常數，就稱之為線性泛函。

如果連續泛函滿足下列條件：

且

就稱之為二次性泛函。 ^[2] 

泛函分析的特點是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且還把這些概念和方法幾何化了。比如，不同類型的函數可以看作是“函數空間”的點或矢量，這樣最後得到了“抽象空間”這個一般的概念。它既包含了以前討論過的幾何對象，也包括了不同的函數空間。

泛函分析對於研究現代物理學是一個有力的工具。n維空間可以用來描述具有n個自由度的力學系統的運動，實際上需要有新的數學工具來描述具有無窮多自由度的力學系統。比如梁的震動問題就是無窮多自由度力學系統的例子。一般來説，從質點力學過渡到連續介質力學，就要由有窮自由度系統過渡到無窮自由度系統。現代物理學中的量子場理論就屬於無窮自由度系統。

正如研究有窮自由度系統要求 n維空間的幾何學和微積分學作為工具一樣，研究無窮自由度的系統需要無窮維空間的幾何學和分析學，這正是泛函分析的基本內容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做無窮維空間的幾何學和微積分學。古典分析中的基本方法，也就是用線性的對象去逼近非線性的對象，完全可以運用到泛函分析這門學科中。

泛函分析是分析數學中最“年輕”的分支，它是古典分析觀點的推廣，它綜合函數論、幾何和代數的觀點研究無窮維向量空間上的函數、算子、和極限理論。他在二十世紀四十到五十年代就已經成為一門理論完備、內容豐富的數學學科了。 ^[1] 

半個多世紀來，泛函分析一方面以其他眾多學科所提供的素材來提取自己研究的對象，和某些研究手段，並形成了自己的許多重要分支，例如算子譜理論、巴拿赫代數、拓撲線性空間理論、廣義函數論等等；另一方面，它也強有力地推動着其他不少分析學科的發展。它在微分方程、概率論、函數論、連續介質力學、量子物理、計算數學、控制論、最優化理論等學科中都有重要的應用，還是建立羣上調和分析理論的基本工具，也是研究無限個自由度物理系統的重要而自然的工具之一。今天，它的觀點和方法已經滲入到不少工程技術性的學科之中，已成為近代分析的基礎之一。

泛函分析在數學物理方程、概率論、計算數學、連續介質力學、量子物理學等學科有着廣泛的應用。近十幾年來，泛函分析在工程技術方面有獲得更為有效的應用。它還滲透到數學內部的各個分支中去，起着重要的作用。 ^[1]