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微分方程

(數學分支)

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微分方程,是指含有未知函數及其導數的關係式。解微分方程就是找出未知函數。
微分方程是伴隨着微積分學一起發展起來的。微積分學的奠基人NewtonLeibniz的著作中都處理過與微分方程有關的問題。微分方程的應用十分廣泛,可以解決許多與導數有關的問題。物理中許多涉及變力的運動學、動力學問題,如空氣的阻力為速度函數的落體運動等問題,很多可以用微分方程求解。此外,微分方程在化學、工程學、經濟學和人口統計等領域都有應用。
數學領域對微分方程的研究着重在幾個不同的面向,但大多數都是關心微分方程的解。只有少數簡單的微分方程可以求得解析解。不過即使沒有找到其解析解,仍然可以確認其解的部分性質。在無法求得解析解時,可以利用數值分析的方式,利用電腦來找到其數值解。 動力系統理論強調對於微分方程系統的量化分析,而許多數值方法可以計算微分方程的數值解,且有一定的準確度。
中文名
微分方程
外文名
differential equation
發明人
艾薩克·牛頓
所屬學科
高等數學
理論基礎
極限理論

微分方程介紹

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含有未知函數的導數,如
的方程是微分方程。 一般的凡是表示未知函數、未知函數的導數與自變量之間的關係的方程,叫做微分方程。未知函數是一元函數的,叫常微分方程;未知函數是多元函數的叫做偏微分方程。微分方程有時也簡稱方程 [1] 

微分方程定義式

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微分方程來源及發展

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微分方程研究的來源:它的研究來源極廣,歷史久遠。牛頓和G.W.萊布尼茨創造微分和積分運算時,指出了它們的互逆性,事實上這是解決了最簡單的微分方程y'=f(x)的求解問題。當人們用微積分學去研究幾何學、力學、物理學所提出的問題時,微分方程就大量地湧現出來。牛頓本人已經解決了二體問題:在太陽引力作用下,一個單一的行星的運動。他把兩個物體都理想化為質點,得到3個未知函數的3個二階方程組,經簡單計算證明,可化為平面問題,即兩個未知函數的兩個二階微分方程組。用叫做“首次積分”的辦法,完全解決了它的求解問題。
微分方程 微分方程
17世紀就提出了彈性問題,這類問題導致懸鏈線方程、振動弦的方程等等。總之,力學、天文學、幾何學等領域的許多問題都導致微分方程。20世紀以來,隨着大量的邊緣科學諸如電磁流體力學化學流體力學動力氣象學海洋動力學地下水動力學等等的產生和發展,也出現不少新型的微分方程(特別是方程組)。
在當代,甚至許多社會科學的問題亦導致微分方程,如人口發展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是與人類社會密切相關的。當初,數學家們把精力集中放在求微分方程的通解上,後來證明這一般不可能,於是逐步放棄了這一奢望,而轉向定解問題初值問題邊值問題、混合問題等。但是,即便是一階常微分方程,初等解(化為積分形式)也被證明不可能,於是轉向定量方法(數值計算)、定性方法,而這首先要解決解的存在性、唯一性等理論上的問題。
70年代隨着數學向化學和生物學的滲透,出現了大量的反應擴散方程。從“求通解”到“求解定解問題”  數學家們首先發現微分方程有無窮個解。常微分方程的解會含有一個或多個任意常數,其個數就是方程的階數。偏微分方程的解會含有一個或多個任意函數,其個數隨方程的階數而定。命方程的解含有的任意元素(即任意常數或任意函數)作儘可能的變化,人們就可能得到方程所有的解,於是數學家就把這種含有任意元素的解稱為“通解”。在很長一段時間裏,人們致力於“求通解”。但是以下三種原因使得這種“求通解”的努力,逐漸被放棄。
第一,能求得通解的方程顯然是很少的。在常微分方程方面,一階方程中可求得通解的,除了線性方程、可分離變量方程和用特殊方法變成這兩種方程的方程之外,為數是很小的。如果把求通解看作求微商及消去法的某一類逆運算,那麼,也和熟知的逆運算一樣,它是帶試探性而沒有一定的規則的,甚至有時是不可能的(J.劉維爾首先證明黎卡提方程不可能求出通解),何況這種通解也是隨着其自由度的增多而增加其求解的難度的。
第二,當人們要明確通解的意義的時候(在19世紀初葉分析奠基時期顯然會考慮到此問題)就會碰到嚴重的含糊不清之處,達布在他的教學中經常提醒大家注意這些困難。這主要發生在偏微分方程的研究中。
第三,微分方程在物理學、力學中的重要應用,不在於求方程的任一解,而是求得滿足某些補充條件的解。A.-L.柯西認為這是放棄“求通解”的最重要的和決定性的原因。這些補充條件即定解條件。求方程滿足定解條件的解,稱之為求解定解問題

微分方程特點

常微分方程的概念、解法、和其它理論很多,比如,方程和方程組的種類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等。下面就方程解的有關幾點簡述一下,以瞭解常微分方程的特點。
求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標,一旦求出通解的表達式,就容易從中得到問題所需要的特解。也可以由通解的表達式,瞭解對某些參數的依賴情況,便於參數取值適宜,使它對應的解具有所需要的性能,還有助於進行關於解的其他研究。後來的發展表明,能夠求出通解的情況不多,在實際應用中所需要的多是求滿足某種指定條件的特解。當然,通解是有助於研究解的屬性的,但是人們已把研究重點轉移到定解問題上來。
一個常微分方程是不是有特解呢?如果有,又有幾個呢?這是微分方程論中一個基本的問題,數學家把它歸納成基本定理,叫做存在和唯一性定理。因為如果沒有解,而我們要去求解,那是沒有意義的;如果有解而又不是唯一的,那又不好確定。因此,存在和唯一性定理對於微分方程的求解是十分重要的。
大部分的常微分方程求不出十分精確的解,而只能得到近似解。當然,這個近似解的精確程度是比較高的。另外還應該指出,用來描述物理過程的微分方程,以及由試驗測定的初始條件也是近似的,這種近似之間的影響和變化還必須在理論上加以解決。
通常微分方程在很多學科領域內有着重要的應用,自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩定性的研究、化學反應過程穩定性的研究等。這些問題都可以化為求常微分方程的解,或者化為研究解的性質的問題。應該説,應用常微分方程理論已經取得了很大的成就,但是,它的現有理論也還遠遠不能滿足需要,還有待於進一步的發展,使這門學科的理論更加完善。

微分方程數學描述

許多物理或是化學的基本定律都可以寫成微分方程的形式。在生物學及經濟學中,微分方程用來作為複雜系統的數學模型。微分方程的數學理論最早是和方程對應的科學領域一起出現,而微分方程的解就可以用在該領域中。不過有時二個截然不同的科學領域會形成相同的微分方程,此時微分方程對應的數學理論可以看到不同現象後面一致的原則。
例如考慮光和聲音在空氣中的傳播,以及池塘水面上的波動,這些都可以用同一個二階的偏微分方程來描述,此方程即為波動方程,因此可以將光和聲音視為一種波,和水面上的水波有些類似之處。約瑟夫·傅立葉所發展的熱傳導理論,其統御方程是另一個二階偏微分方程-熱傳導方程式擴散作用看似和熱傳導不同,但也適用同一個統御方程,而經濟學中的布萊克-休斯方程也和熱傳導方程有關。

微分方程其他學科關係

早期由於外彈道學的需要,以及40年代由於高速氣動力學研究激波的需要,擬線性一階雙曲組的間斷解的研究更得到了重大發展,蘇聯和美國學者作出了貢獻。泛函分析和偏微分方程間的相互聯繫,相互促進發展,首先應歸功於法、波、蘇等國學者的努力。
常微分方程的形成與發展是和力學、天文學、物理學,以及其他科學技術的發展密切相關的。數學的其他分支的新發展,如複變函數、李羣、組合拓撲學等,都對常微分方程的發展產生了深刻的影響,當前計算機的發展更是為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具。

微分方程分類

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微分方程可分為以下幾類,而隨着微分方程種類的不同,其相關研究的方式也會隨之不同。

微分方程偏微分方程

常微分方程(ODE)是指微分方程的自變量只有一個的方程 [2]  。最簡單的常微分方程,未知數是一個實數或是複數的函數,但未知數也可能是一個向量函數或是矩陣函數,後者可對應一個由常微分方程組成的系統。
一般的n階常微分方程具有形式:
其中
的已知函數,並且必含有
偏微分方程(PDE)是指微分方程的自變量有兩個或以上 [2]  ,且方程式中有未知數對自變量的偏微分。偏微分方程的階數定義類似常微分方程,但更細分為橢圓型、雙曲線型及拋物線型的偏微分方程,尤其在二階偏微分方程中上述的分類更是重要。有些偏微分方程在整個自變量的值域中無法歸類在上述任何一種型式中,這種偏微分方程則稱為混合型。
最常見的二階橢圓方程為調和方程:

微分方程線性及非線性

常微分方程及偏微分方程都可以分為線性微分方程非線性微分方程二類。
的一次有理式,則稱方程
為n階線性方程,否則即為非線性微分方程。
一般的,n階線性方程具有形式:
其中,
均為x的已知函數。
若線性微分方程的係數均為常數,則為常係數線性微分方程。

微分方程舉例

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以下是常微分方程的一些例子,其中u為未知的函數,自變量為x,c及ω均為常數。
非齊次一階常係數線性微分方程
非齊次一階非線性微分方程:
以下是偏微分方程的一些例子,其中u為未知的函數,自變量為x及t或者是x及y。
齊次一階線性偏微分方程
拉普拉斯方程,是橢圓型的齊次二階常係數線性偏微分方程:
KdV方程 [3]  是三階的非線性偏微分方程

微分方程微分方程的解

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微分方程的解通常是一個函數表達式y=f(x),(含一個或多個待定常數,由初始條件確定)。
例如:
,其解為:
,其中C是待定常數;
如果知道
,則可推出C=1,而可知 y=-\cos x+1,
對於一階線性常微分方程,常用的方法是常數變易法
對於方程:y'+p(x)y+q(x)=0,可知其通解:
,然後將這個通解代回到原式中,即可求出C(x)的值。
二階常係數齊次常微分方程
對於二階常係數齊次常微分方程,常用方法是求出其特徵方程的解
對於方程:
可知其通解:
其特徵方程:
根據其特徵方程,判斷根的分佈情況,然後得到方程的通解
一般的通解形式為:
,則有
,則有
共軛複數根的情況下:
。r=α±βi

微分方程約束條件

微分方程的約束條件是指其解需符合的條件,依常微分方程及偏微分方程的不同,有不同的約束條件。
常微分方程常見的約束條件是函數在特定點的值,若是高階的微分方程,會加上其各階導數的值,有這類約束條件的常微分方程稱為初值問題。
若是二階的常微分方程,也可能會指定函數在二個特定點的值,此時的問題即為邊界值問題。若邊界條件指定二點數值,稱為狄利克雷邊界條件(第一類邊值條件),此外也有指定二個特定點上導數的邊界條件,稱為諾伊曼邊界條件(第二類邊值條件)等。
偏微分方程常見的問題以邊界值問題為主,不過邊界條件則是指定一特定超曲面的值或導數需符定特定條件。

微分方程唯一性

存在性是指給定一微分方程及約束條件,判斷其解是否存在。唯一性是指在上述條件下,是否只存在一個解。
針對常微分方程的初值問題,皮亞諾存在性定理可判別解的存在性,柯西-利普希茨定理 [4]  則可以判別解的存在性及唯一性。
針對偏微分方程,柯西-克瓦列夫斯基定理可以判別解的存在性及唯一性。 皮亞諾存在性定理可以判斷常微分方程初值問題的解是否存在。
參考資料
  • 1.    同濟大學應用數學系.高等數學.同濟大學:高等教育出版社,2009:259-260
  • 2.    時寶 黃朝炎.北京:科學出版社,2007:6-7
  • 3.    翁秉仁. 微分方程:中央研究院數學所,台大數學系,2014-01-15: 2.0 2.1
  • 4.    馬知恩 周義倉.西安交通大學:科學出版社,2001