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共軛複數
鎖定
- 中文名
- 共軛複數
- 外文名
- conjugate complex number
- 類 別
- 定律
- 類 型
- 概念
- 學 科
- 數學
- 應 用
- 初等幾何問題
共軛複數公式
根據定義,若z=a+bi(a,b∈R),則
=a-bi(a,b∈R)。共軛複數所對應的點關於實軸對稱。兩個複數:x+yi與x-yi稱為共軛複數,它們的實部相等,虛部互為相反數。在複平面上,表示兩個共軛複數的點關於X軸對稱,而這一點正是"共軛"一詞的來源。兩頭牛平行地拉一部犁,它們的肩膀上要共架一個橫樑,這橫樑就叫做"軛"。如果用z表示x+yi,那麼在z字上面加個"一"就表示x-yi,或相反。
共軛複數有些有趣的性質:
另外還有一些四則運算性質。
共軛複數代數特徵
(1)|z|=|
|;
(2)z+
=2a(實數),z-
=2bi;
(3)z·
=|z|2=a2+b2(實數)。
共軛複數加法法則
複數的加法法則:設z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個複數。兩者和的實部是原來兩個複數實部的和,它的虛部是原來兩個虛部的和。兩個複數的和依然是複數。即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
[1]
共軛複數減法法則
兩個複數的差為實數之差加上虛數之差(乘以i)
即:z1-z2=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+(b-d)i
共軛複數乘法法則
即:z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.
共軛複數除法法則
複數除法定義:滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的複數x+yi(x,y∈R)叫複數a+bi除以複數c+di的商運算方法:將分子和分母同時乘以分母的共軛複數,再用乘法法則運算。
即:
共軛複數開方法則
若zn=r(cosθ+isinθ),則
(k=0,1,2,3……n-1)
共軛複數共軛法則
z=x+iy的共軛,標註為z*就是共軛數z*=x-iy
即:zz*=(x+iy)(x-iy)=x2-xyi+xyi-y2i2=x2+y2
即,當一個複數乘以他的共軛數,結果是實數。
z=x+iy 和 z*=x-iy 被稱作共軛對。
共軛複數運算特徵
(1)
(2)
(3)
(4)
(z2≠0)
總結:和(差、積、商)的共軛等於共軛的和(差、積、商)。
共軛複數模的運算性質
① | z1·z2| = |z1|·|z2|
②┃| z1|-| z2|┃≤| z1+z2|≤| z1|+| z2|
- 參考資料
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- 1. 王靜先,王昭海. 共軛複數的性質在初等幾何問題中的應用[J]. 考試周刊,2011,(41):55-56. [2017-09-05]. .中國知網[引用日期2017-09-05]
- 2. 洪楠. 關於共軛複數的三個結論及其應用[J]. 新高考(高二版),2009,(03):33-34+43-44. [2017-09-05]. .中國知網[引用日期2017-09-05]
- 3. 共軛複數,共軛根式,共軛矩陣,共軛方向,共軛方向法,共軛梯度法,共軛分佈,共軛函數,傅里葉變換的共軛對稱 .wzg2016的博客-CSDN博客[引用日期2023-09-19]