皮亞諾存在性定理

這個定理最早由數學家朱塞佩·皮亞諾在1886年發表，但是他給出的證明是錯誤的。1890年他又發表了一個正確的運用逐次逼近法的證明。

設

為

的一個開子集，以及一個連續函數：

皮亞諾存在定理：定義在

上的一個一階線性常微分方程（其中

）

必然有局部解。也就是説，必定存在一個關於

的鄰域 ，以及一個函數：

滿足

^[1]  。

皮亞諾存在定理可以和另外一個存在性定理：皮卡-林德洛夫定理作比較。相比起皮亞諾存在定理，皮卡-林德洛夫定理對函數

的要求更嚴格，但結論也更強。皮卡-林德洛夫定理要求函數

局部地滿足利普希茨條件，也就是説在任意一點

的附近，都有一個常數

和一個鄰域

，使得對於

中任意的

兩點，都有：

。

這個要求比單純的連續性要高，但是得出的結論也更強了：皮卡-林德洛夫定理説明，在滿足上述要求時，微分方程的局部解不僅存在而且是唯一的。

設

為一個常數，考慮函數

。

根據皮亞諾存在定理，由於函數

在

上連續，微分方程有解。但由於

，

在

上不滿足利普希茨條件，於是解不一定是唯一的。事實上：

，函數

都是微分方程的解，也就是説解有無窮多個。這個反例來源於一個物理模型：假設有一個漏水的容器，其水面高度（函數

）和時間（變量

）的關係由以上的微分方程定義的話，那麼由於事實上可以觀測到漏水的過程，所以方程一定有解。但如果只知道容器在漏完水後的某個時刻的狀態（

）的話，是無法倒過來推測原來的水位有多高的（也就是説沒有唯一解）。