-
二階微分方程
鎖定
對於
一元函數來説,如果在該方程中出現因變量的
二階導數,我們就稱為二階(常)微分方程,其一般形式為F(x,y,y',y'')=0。在有些情況下,可以通過適當的變量代換,把二階微分方程化成一階微分方程來求解。
- 中文名
-
二階(常)微分方程
- 外文名
-
Second-order (Ordinary) Differential Equation
- 時 間
-
大致與微積分同時產生
二階微分方程一般形式
二階微分方程的一般形式是
二階微分方程可降階方程
在有些情況下,可以通過適當的
變量代換,把二階微分方程化成一階微分方程來求解。具有這種性質的微分方程稱為可降階的微分方程,相應的求解方法稱為降階法。下面介紹三種容易用降階法求解的二階微分方程。
[1]
1)y''=f(x)型
方程特點:右端僅含有自變量x,逐次積分即可得到通解,對二階以上的微分方程也可類似求解。
例1 求方程y''=e2x-cosx的通解。
解:原方程兩邊積分兩次,得通解
2)y''=f(x,y')型
方程特點:右端函數表達式中不含有未知函數y。
由於y'也是x的未知函數,可設p(x)=y',則原方程可降階為
3)y''=f(y,y')型
方程特點:右端函數表達式中不含有自變量x。
令y'=p(y),利用複合函數求導法則
二階微分方程線性微分方程
一般形如
當f(x)=0時,方程
稱為
二階常係數線性齊次微分方程;否則,方程(1)稱為
二階常係數線性非齊次微分方程。
定理1(線性齊次微分方程通解的結構定理)如果函數y1(x)與y2(x)是(2)的兩個線性無關的解,則函數
是齊次方程(2)的通解。(其中,C
1、C
2為兩個獨立的任意常數)
表1 齊次微分方程通解與其特徵根的關係
定理2(線性非齊次微分方程通解的結構定理)如果y0是非齊次微分方程(1)的一個特解,而y*是對應的齊次微分方程(2)的通解,則y=y0+y*是方程(1)的通解。
對於比較簡單的情形,可以用觀察法找特解。但對於比較複雜的情形就不太容易了。為此,下面對於f(x)的幾種常見形式,以表2列出找其特解的方法(
待定係數法)(表2中P
m(x)=a
0+a
1x+a
2x
2+...+a
mx
m為已知的
多項式)。
表2 非齊次微分方程特解形式與f(x)的關係
表2 非齊次微分方程特解形式與f(x)的關係
- 參考資料
-
-
1.
徐仁璋.微積分(下):中南財政經濟出版社,2011