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線性偏微分方程
鎖定
- 中文名
- 線性偏微分方程
- 外文名
- linear partial differential equation
- 所屬學科
- 數理科學
- 相關概念
- 偏微分方程、線性、偏導數等
- 舉 例
- 拉普拉斯方程、熱擴散方程等
線性偏微分方程基本概念
線性偏微分方程定義
如果偏微分方程中,未知函數及它的所有偏導數都是線性的,且方程中的係數都僅依賴於自變量(或者是常數),那麼這樣的偏微分方程就稱為線性偏微分方程,特別的,如果方程中的係數都是常數,則稱為常係數偏微分方程。顯然,如果方程中的係數是自變量的函數,則稱為變係數偏微分方程。方程中出現未知函數及偏導數不是線性的,則稱為非線性偏微分方程。
[2]
線性偏微分方程偏微分方程
未知函數具有多個自變量,含有這種未知函數的一個或多個偏導數的微分方程稱為偏微分方程。如自變量只有一個就成為常微分方程。如方程不止一個,就稱為偏微分方程組。
就是一個典型的偏微分方程。
就是一個典型的常微分方程。
[2]
線性偏微分方程基本性質
引入線性偏微分算子
1)如
,則
。如
.則
(c是常數)。
2)如
是齊次方程
的通解,v是非齊次方程
的特解,則
是非齊次方程
的通解。
3)如
是
的特解,則
(
是常數)是
的解。
線性偏微分方程二階線性偏微分方程
許多物理學、力學和工程技術問題所引出的偏微分方程都是二階偏微分方程。對於二階偏微分方程研究相對成熟些。對於有雙自變量
的未知函數的二階線性偏微分方程,可以寫成如下形式
通過座標變換能夠把上述方程在某一點化成標準形式,根據
如果該偏微分方程在一個區域內的任意點均為雙曲型的、拋物型的或橢圓型的,那麼就稱該偏微分方程在這區域內是雙曲型、拋物型或橢圓型的。對於兩個自變量的偏微分方程,在一給定的區域內總可以找到函數變換將已知方程化成標準形式,但是,就多個自變量的偏微分方程來説,這樣的變換一般是較難找到。
線性偏微分方程經典線性偏微分方程
由於二階偏微分方程,具有廣泛的實際意義和數學處理上的簡單易理解。這裏僅給出二階線性偏微分方程的一些例子。