常微分方程

學過中學數學的人對於方程是比較熟悉的；在初等數學中就有各種各樣的方程，比如線性方程、二次方程、高次方程、指數方程、對數方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問題中的已知數和未知數之間的關係找出來，列出包含一個未知數或幾個未知數的一個或者多個方程式，然後取求方程的解。

但是在實際工作中，常常出現一些特點和以上方程完全不同的問題。比如：物質在一定條件下的運動變化，要尋求它的運動、變化的規律；某個物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離隨時間變化的規律；火箭在發動機推動下在空間飛行，要尋求它飛行的軌道，等等，要以現有數據求得出形式上的函數解析式，而不是以已知函數來計算特定的未知數。

物質運動和它的變化規律在數學上是用函數關係來描述的，因此，這類問題就是要去尋求滿足某些條件的一個或者幾個未知函數。也就是説，凡是這類問題都不是簡單地去求一個或者幾個固定不變的數值，而是要求一個或者幾個未知的函數。

解這類問題的基本思想和初等數學解方程的基本思想很相似，也是要把研究的問題中已知函數和未知函數之間的關係找出來，從列出的包含未知函數的一個或幾個方程中去求得未知函數的表達式。但是無論在方程的形式、求解的具體方法、求出解的性質等方面，都和初等數學中的解方程有許多不同的地方。

在數學上，解這類方程，要用到微分和導數的知識。因此，凡是表示未知函數的導數以及自變量之間的關係的方程，就叫做微分方程。

微分方程差不多是和微積分同時先後產生的，蘇格蘭數學家耐普爾創立對數的時候，就討論過微分方程的近似解。牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數來求解。後來瑞士數學家雅各布·貝努利、歐拉、法國數學家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。

常微分方程的形成與發展是和力學、天文學、物理學，以及其他科學技術的發展密切相關的。數學的其他分支的新發展，如複變函數、李羣、組合拓撲學等，都對常微分方程的發展產生了深刻的影響，當前計算機的發展更是為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具。

牛頓研究天體力學和機械動力學的時候，利用了微分方程這個工具，從理論上得到了行星運動規律。後來，法國天文學家勒維烈和英國天文學家亞當斯使用微分方程各自計算出那時尚未發現的海王星的位置。這些都使數學家更加深信微分方程在認識自然、改造自然方面的巨大力量。

微分方程的理論逐步完善的時候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規律，只要列出相應的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的數學分支。 ^[2] 

定義1：凡含有參數，未知函數和未知函數導數 (或微分) 的方程，稱為微分方程，有時簡稱為方程，未知函數是一元函數的微分方程稱作常微分方程，未知函數是多元函數的微分方程稱作偏微分方程。微分方程中出現的未知函數最高階導數的階數，稱為微分方程的階。定義式如下： 　

定義2：任何代入微分方程後使其成為恆等式的函數，都叫做該方程的解.若微分方程的解中含有任意常數的個數與方程的階數相同，且任意常數之間不能合併，則稱此解為該方程的通解(或一般解).當通解中的各任意常數都取特定值時所得到的解，稱為方程的特解。

一般地説，n 階微分方程的解含有 n個任意常數。也就是説，微分方程的解中含有任意常數的個數和方程的階數相同，這種解叫做微分方程的通解。通解構成一個函數族。

如果根據實際問題要求出其中滿足某種指定條件的解來，那麼求這種解的問題叫做定解問題，對於一個常微分方程的滿足定解條件的解叫做特解。對於高階微分方程可以引入新的未知函數，把它化為多個一階微分方程組。 ^[2] 

常微分方程的概念、解法、和其它理論很多，比如，方程和方程組的種類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等。下面就方程解的有關幾點簡述一下，以瞭解常微分方程的特點。

求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標，一旦求出通解的表達式，就容易從中得到問題所需要的特解。也可以由通解的表達式，瞭解對某些參數的依賴情況，便於參數取值適宜，使它對應的解具有所需要的性能，還有助於進行關於解的其他研究。後來的發展表明，能夠求出通解的情況不多，在實際應用中所需要的多是求滿足某種指定條件的特解。當然，通解是有助於研究解的屬性的，但是人們已把研究重點轉移到定解問題上來。

一個常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有幾個呢？這是微分方程論中一個基本的問題，數學家把它歸納成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因為如果沒有解，而我們要去求解，那是沒有意義的；如果有解而又不是唯一的，那又不好確定。因此，存在和唯一性定理對於微分方程的求解是十分重要的。

大部分的常微分方程求不出十分精確的解，而只能得到近似解。當然，這個近似解的精確程度是比較高的。另外還應該指出，用來描述物理過程的微分方程，以及由試驗測定的初始條件也是近似的，這種近似之間的影響和變化還必須在理論上加以解決。 ^[2] 

常微分方程在很多學科領域內有着重要的應用，自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩定性的研究、化學反應過程穩定性的研究等。這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質的問題。應該説，應用常微分方程理論已經取得了很大的成就，但是，它的現有理論也還遠遠不能滿足需要，還有待於進一步的發展，使這門學科的理論更加完善。 ^[3] 

20世紀以來，隨着大量的邊緣科學諸如電磁流體力學、化學流體力學、動力氣象學、半導體物理學、海洋動力學、地下水動力學等等的產生和發展，也出現不少新型的微分方程（特別是方程組）。70年代隨着數學向化學和生物學的滲透，出現了大量的反應擴散方程。

從“求通解”到“求解定解問題”　數學家們首先發現微分方程有無窮個解。常微分方程的解會含有一個或多個任意常數，其個數就是方程的階數。偏微分方程的解會含有一個或多個任意函數，其個數隨方程的階數而定。命方程的解含有的任意元素（即任意常數或任意函數）作儘可能的變化，人們就可能得到方程所有的解，於是數學家就把這種含有任意元素的解稱為“通解”。在很長一段時間裏，人們致力於“求通解”。但是以下三種原因使得這種“求通解”的努力，逐漸被放棄。第一，能求得通解的方程顯然是很少的。在常微分方程方面，一階方程中可求得通解的，除了線性方程、可分離變量方程和用特殊方法變成這兩種方程的方程之外，維數是很小的。

高階方程中，線性方程仍可以用疊加原理求解，即n階齊次方程的通解是它的n個獨立特解的線性組合，其係數是任意常數。非齊次方程的通解等於相應齊次方程的通解加上非齊次方程的特解，這個特解並且可以用常數變易法通過求積分求得。求齊次方程的特解，當係數是常數時可歸結為求一代數方程的根，這個代數方程的次數則是原方程的階數;當係數是變數時，則只有二種極特殊的情況（歐拉方程、拉普拉斯方程）可以求得。

至於非線性高階方程則除了少數幾種可降階情形(如方程(1)就是這幾種情形都有的一個方程)之外，可以求得通解的為數就更小了。n階方程也可以化為一階方程組（未知函數的個數和方程的個數都等於 n）早已為人們所知，並且在此後起着一定作用，但對通解的尋求仍無濟於事。

在偏微分方程方面，一階方程可以歸結為一階常微分方程組，但是如上所述，一階常微分方程組可以求得通解的還是很少的。高階方程中幾乎只有少數二階方程（當用瀑布法時在一系列不變量中有一個開始為零的情形，和少數極個別的非線性方程等等）可以求得通解。在線性情形，推廣常數變易法則是杜阿美原理。 ^[3] 

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下列方程都是微分方程 (其中 y, v均為未知函數).

(1) y'= kx, k 為常數；

(2) ( y - 2xy) dx + x² dy = 0；

(3) mv'(t) = mg - kv(t)；

一階微分方程的普遍形式

一般形式：F（x,y,y'）=0

標準形式：y'=f(x,y)

主要的一階微分方程的具體形式

1.可分離變量的一階微分方程

2.齊次方程

3.一階線性微分方程

4.伯努利微分方程

5.全微分方程