伯努利微分方程

形如y'+P（x）y=Q(x)y^n的微分方程，稱為伯努利微分方程，其中n≠0並且n≠1 ^[2]  ，其中P（x），Q（x）為已知函數，因為當n=0，1時該方程是線性微分方程。它以雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）命名，他在1695年進行了研究。伯努利方程是特殊的，因為它們是具有已知精確解的非線性微分方程。 伯努利方程的著名特殊情況是邏輯微分方程。

伯努利微分方程可以把變量替換成為線性微分方程，將伯努利微分方程兩端除以

，得

作變量替換

，則

。代入上式，有：

這是以z為未知函數的一階線性微分方程，由此方程解出z，再由

可得伯努利微分方程的解。 ^[3] 

注意，對於n=0和n = 1，伯努利方程是線性的。 對於n≠0和n≠1，替換

將任何伯努利方程調整到線性微分方程。 例如：

讓我們考慮以下微分方程：

以伯努利形式（用n = 2））重寫它：

現在，用

我們得到：

，它是一個線性微分方程。

作為線性微分方程的解：

那麼我們有

是下面方程的解

對於每個這樣的微分方程，都有

>0，我們有y恆等於0。 ^[4]