初等數學

整數、分數和小學的四則運算、數與代數、空間與圖形、簡單統計與可能性、一元一次方程，圓，正負數，立體幾何初步。

代數部分：有理數（正數和負數及其運算），實數（根式的運算），平面直角座標系，基本函數（一次函數，二次函數，反比例函數），簡單統計，鋭角三角函數，方程（一元一次方程，二元一次方程組，一元二次方程，三元一次方程組），因式分解、整式、分式、一元一次不等式。 ^[1] 

幾何部分：全等三角形，四邊形（重點是平行四邊形及特殊的平行四邊形），對稱與旋轉，相似圖形（重點是相似三角形），圓的基本性質，

集合，基本初等函數（指數函數、對數函數，冪函數，高次函數），二次函數根分佈與不等式，柯西不等式，排列不等式，初等行列式，三角函數，解析幾何與圓錐曲線（橢圓，拋物線，雙曲線），複數，數列，高等統計與概率，排列組合，平面向量，空間向量，空間直角座標系，導數以及相對簡單的定積分。

初等數學時期從公元前五世紀到公元十七世紀，延續了兩千多年、由於高等數學的建立而結束。這個時期最明顯的結果就是系統地創立了初等數學，也就是現在中小學課程中的算術、初等代數、初等幾何（平面幾何和立體幾何）和平面三角等內容。

初等數學時期可以根據內容的不同分成兩部分，幾何發展的時期（到公元二世紀）和代數優先發展時期（從二世紀到十七進紀）。又可以按照歷史條件的不同把它分成“希臘時期”、“東方時期”和“歐洲文藝復興時期”。

希臘時期正好和希臘文化普遍繁榮的時代一致。希臘是一個文明古國，但是，和四大文明古國巴比倫、埃及、印度、中國相比，在文明史上，希臘文明要晚一段時間。

希臘的文明延續了一千年之久；從數學的發展情況來分又可以分成古典時期和亞歷山大里亞時期。

東方時期主要指古希臘衰亡後，西方數學發展中心轉移到東方的印度；阿拉伯等的時期。

歐洲的文藝復興時期是初等數學發展到一定階段，為數學向更高階段發展作準備的時期。 ^[2] 

近年來高等數學已經在英語、法律等文科專業成為了一門重要的基礎課程，説明高等數學的廣泛應用性得到越來越多人的認識。初等數學只能解釋常量的幾何和物理問題，比如規則圖形的長度、面積和體積，勻速直線運動等。而數學教育本質上是一種素質教育，學習數學的目的不僅僅在於學到一些數學的概念、公式和結論，更重要的是要了解數學的思想方法和精神實質，真正掌握數學這門學科的精髓。

遠古時代至公元前6世紀，人類處於原始社會。社會實踐活動主要是打獵與採集野果，形成整數概念，建立簡單運算，產生幾何上一些簡單知識。這一時期的數學知識是零碎的，沒有命題的證明和演繹推理。

公元17世紀上半葉至19世紀20年代，人類處於封建社會末期資本主義初期，經歷了著名的文藝復興。這時期數學研究的主要內容是數量的變化及幾何變換。笛卡爾的解析幾何學、牛頓一萊布尼茨的微積分及圍繞微積分的理論和應用而發展起來的一大批數學分支，使數學進入一個繁榮的時代。

19世紀20年代至20世紀40年代，微積分基礎的嚴格圓的切線，任意曲線的長度回多面體的表面積，不規則立體的體積，近世代數的問世、非歐幾何的誕生、集合論的創立都是這一時期的成就。

20世紀40年代至今，隨着人類社會的發展而發展，數學是研究現實世界的數量關係與空間幾何形狀的科學。以數學理論為基礎的計算機的發明使數學得到空前廣泛的應用，泛函分析、模糊數學、分形幾何、混沌理論等新興數學分支產生。

數學，特別是現代形態的數學，是一種很空洞抽象的東西。從形式上看，數學是由無物質內容的形式符號按一定的“遊戲規則”所組成的推演系統，它遠離人的直接經驗，具有一定的超現實性。數學這種形式上的“超現實性”在某種程度上是其在自然科學和社會科學中都有廣泛而深刻的應用保證。但是我們在學習這種抽象的數學時，一定要結合具體而生動的實例加以理解，還抽象數學其現實本性。這樣我們才會覺得數學是活的、生動具體的，而且體會到它為什麼是這樣的。做到知其然，更要知其所以然。

高等數學，單靠教師把課講好是遠遠不夠的。只有調動學生學習的積極性和主動性，促使他們自覺地接受經常、充分而又嚴格的數學訓練，才能使他們真正走近數學，取得切身的體會，從而加深對數學的理解。在認真複習的基礎上做好習題，是和課堂教學聯繫最直接與緊密，同時也最利於經常實施和長期堅持的一項重要的數學訓練。

在現代數學中，符號演算在課程中常佔着較大的比例，比如微積分中的極限演算，導數和各種積分演算等。數學，特別是高等數學是具有很精密而系統的建構性，它的任何章節，所有概念和定理無不是由嚴密的邏輯因果網編織連接在一起的。可以説，數學的邏輯結構乃是數學科學的本質與靈魂，是它的原理和精神的所在。因此在學習中尤其要加以理解和領會，做到融會貫通，舉一反三。

現行的中學教材中，只講怎樣運用常用的數學方法——數學歸納法而不談原理的證明，中學教材這樣處理是考慮到中學生的知識水平、年齡特徵和中學數學的教學目的。但對於一位未來的中學教師要知其然更要知其所以然。數學歸納法的合理性，是由自然數的歸納公理所保證的，也就是由歸納公理提供的。由該公理還可以演變出各種形式的歸納證明方法：第一數學歸納法、第二數學歸納法、反向歸納法、無窮遞降歸納法等。用這些方法可以解決用其他數學方法難於處理的許多問題，具體實例在此處從略。

用初等數學的方法研究函數的增減性、凹凸性、求極值、最值等種種特性有很大的侷限性。而在高等數學中利用極限、導數、級數等知識可用比較完備的方法研究函數的特性。 ^[3]