常微分方程

本書介紹了常微分方程理論中一些必備的基礎知識，內容包括：常微分方程的初等積分法、解的存在唯一性、解關於初值和參數的連續依賴性和連續可微性、解析微分方程解析解的存在性及其應用、微分方程組的可積理論及其在求解偏微分方程中的應用、常係數線性微分方程和微分方程組的解法及其在平面微分方程組局部結構研究上的應用、變係數線性微分方程組的Floquet理論、Sturm-Liouville邊值問題及其在波動方程和熱傳導方程求解中的應用、微分方程解的穩定性判定、極限環存在性的基礎知識，並簡要介紹了結構穩定性和分支理論的基礎知識。還介紹瞭如何利用Mathematica軟件求解微分方程和作平面微分系統的相圖。書末給出Ascoli-Arzelà引理的初等證明和實矩陣對數存在性的證明。

封面

常微分方程

《大學數學科學叢書》編委會

內容簡介

作者簡介

《大學數學科學叢書》序

前言

符號表

第1章 常微分方程的基礎知識

1.1 常微分方程的基本概念

1.1.1 微分方程和解

1.1.2 微分方程和解的例子

1.1.3 微分方程解的幾何解釋、存在和唯一性

1.1.4 實際問題模型的推導

1.2 初等積分法

1.2.1 恰當方程

1.2.2 積分因子法

1.2.3 幾類可轉化為恰當方程的微分方程

1.2.4 一階隱式微分方程

1.2.5 高階微分方程

1.2.6 Mathematica求解常微分方程

習題1

第2章 一階微分方程解的存在性和唯一性

2.1 預備知識：距離空間與壓縮映射原理

2.1.1 距離空間

2.1.2 壓縮映射原理

2.2 解的存在與唯一性: Picard定理

2.3 解的存在性：Peano定理

2.4 解對初值和參數的連續依賴性

2.5 一階線性微分方程解的理論

習題2

第3章 高階微分方程和微分方程組的解的理論

3.1 高階微分方程和微分方程組: 解的存在唯一性和可微性

3.2 解析微分方程組的解析解

3.2.1 解析解的局部存在性

3.2.2 解析線性微分方程組冪級數解的收斂半徑

3.2.3 解析解理論的應用：二階變係數線性齊次微分方程的冪級數解法

3.3 微分方程可積理論

3.3.1 可積的基礎理論：首次積分的存在性及其與通解的聯繫

3.3.2 首次積分在偏微分方程求解中的應用

3.3.3 Hamilton系統可積理論初步

習題3

第4章 線性微分方程組和高階線性微分方程的基本理論和解法

4.1 線性微分方程組解的基本理論

4.1.1 線性微分方程組解的存在區間

4.1.2 線性微分方程組通解的結構

4.1.3 高階線性微分方程通解的結構

4.2 常係數線性微分方程組的解法

4.2.1 矩陣指數函數與常係數線性微分方程組的解

4.2.2 常係數線性齊次微分方程組基解矩陣的求法

4.2.3 應用：平面常係數線性微分系統的局部結構

4.2.4 用Mathematica求方程組的解和作平面微分方程組的局部相圖

4.3 高階常係數線性微分方程的解法

4.3.1 常係數線性齊次微分方程的解法

4.3.2 常係數線性非齊次微分方程的待定係數法

習題4

第5章 變係數線性微分方程和微分方程組的基礎理論

5.1 週期系數線性微分方程組：Floquet 理論

5.2 二階變係數線性齊次微分方程

5.2.1 Sturm比較定理

5.2.2 二階線性微分方程兩點邊值問題的例子

5.2.3 Sturm-Liouville邊值問題

5.3 Sturm-Liouville邊值問題在偏微分方程中的應用

5.3.1 熱傳導方程初邊值問題的解

5.3.2 波動方程初邊值問題的求解

習題5

第6章 微分方程定性和穩定性理論

6.1 微分方程解的穩定性

6.1.1 線性齊次微分方程組零解的穩定性

6.1.2 由線性近似確定的非線性微分方程組零解的穩定性

6.1.3 判定穩定性的Lyapunov第二方法

6.2 平面自治微分系統極限環理論的基礎

6.3 微分系統的結構穩定性與分支簡介

6.4 混沌初步：兩個例子

習題6

附錄

A.1 Ascoli-Arzelà引理的證明

A.2 矩陣對數存在性的證明

參考答案

參考文獻

名詞索引

專業名詞中英文對照

《大學數學科學叢書》己出版書目

封底 ^[1]