多元函數

設D為一個非空的n 元有序數組的集合， f為某一確定的對應規則。 ^[1] 

若對於每一個有序數組，通過對應規則f，都有唯一確定的實數y與之對應，則稱對應規則f為定義在D上的n元函數。記為

。 變量

稱為自變量；y稱為因變量。

當n=1時，為一元函數，記為y=f(x),x∈D；

當n=2時，為二元函數，記為z=f(x,y),(x,y)∈D，圖象如圖1。

二元及以上的函數統稱為多元函數。

設D是n維空間的一個點集，f為某一確定的對應法則。如果對於每個點P

，變量z按照對應法則f總有唯一確定的值和它對應，則稱z是變量x₁,x₂,…,x_n的n元函數。記為

，其中

，或z=f(P),P∈D。　若函數f的定義域D是實數集R的一個子集，即只依賴於一個自變量，就説f是一元函數。若函數f的定義域D是n個R的笛卡爾(R. Descartes)積R×R×…×R=

的子集,即依賴於n個獨立自變量，就説f是n元函數。

當n≥2時，n元函數泛稱為多元函數。 ^[1] 

二元函數的定義域通常是由平面上的一條或幾條光滑曲線所圍成的平面區域，圍成區域的曲線稱為區域的邊界，包括邊界在內的區域稱為閉區域，否則稱為開區域。

集合

，稱為函數的定義域，也可以記為D(f)或

。 ^[2] 

對應規則（也稱對應關係、對應法則，對應規律），f可以用數學表達式（包括解析式）、圖象、表格等表示。

對於

所對應的y值，記為

稱為當

時，函數

的函數值。

全體函數值的集合

稱為函數的值域，記為Z或Z(f)。

人們常常説的函數y=f(x)，是因變量與一個自變量之間的關係，即因變量的值只依賴於一個自變量，稱為一元函數。 ^[1] 

但在許多實際問題中往往需要研究因變量與幾個自變量之間的關係，即因變量的值依賴於幾個自變量。

例如，某種商品的市場需求量不僅僅與其市場價格有關，而且與消費者的收入以及這種商品的其它代用品的價格等因素有關，即決定該商品需求量的因素不止一個而是多個。要全面研究這類問題，就需要引入多元函數的概念。

研究一元函數的思想方法是研究多元函數、尤其是二元函數的基礎。研究二元函數的思想方法又是研究多元函數的基礎。

像一元函數一樣，它也有定義域、值域、自變量、因變量等概念和性質。 ^[3] 

這裏分別給出了多元函數的三種定義。極限、導數即有序數組定義、n維空間定義和笛卡爾積定義。可以説前兩者是等價的。後者外延更廣泛。

多元函數的本質是一種關係，是兩個集合間一種確定的對應關係。這兩個集合的元素可以是數；也可以是點、線、面、體；還可以是向量、矩陣等等。一個元素或多個元素對應的結果可以是唯一的元素，即單值的。也可以是多個元素，即多值的。 ^[1] 

人們最常見的函數，以及我國中學數學教科書所説的“函數”，除有特別註明者外，實際上（全稱）是一元單值實變函數。

設點

,

，若對每一點

，由某規則f有唯一的 u∈U與之對應：f：G→U,

，則稱f為一個n元函數，G為定義域，U為值域。

基本初等函數及其圖像。冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數稱為基本初等函數。

①冪函數：

（μ≠0，μ為任意實數定義域：μ為正整數時為(－∞,+∞)，μ為負整數時是

(－∞,0)∪(0，+∞),μ=α(為整數)，當α是奇數時為(－∞,+∞)，當α是偶數時為(0,+∞),μ=p/q,p,q互素，作為複合函數進行討論。

②指數函數：

(a>0 ,a≠1)，定義域為( －∞,+∞)，值域為（0,+∞），a>1 時是嚴格單調增加的函數（ 即當x2>x1時，y2>y1）,0 和y=log(x)的圖形關於y軸對稱。

③對數函數：

(a>0)， 稱a為底 ， 定義域為(0,+∞)，值域為(－∞,+∞) 。a>1 時是嚴格單調增加的，0

以10為底的對數稱為常用對數 ，簡記為lgx 。在科學技術中普遍使用的是以e為底的對數，即自然對數，記作lnx。

④三角函數

⑤反三角函數

⑥雙曲函數：雙曲正弦

，雙曲餘弦

，雙曲正切

/

，雙曲餘切

/

。