非歐幾里得幾何

從古希臘時代到公元1800年間，許多數學家都嘗試用歐幾里得幾何中的其他公理來證明歐幾里得的平行公理，但是結果都歸於失敗。19世紀，德國數學家高斯、俄國數學家羅巴切夫斯基、匈牙利數學家波爾約等人各自獨立地認識到這種證明是不可能的。也就是説，平行公理是獨立於其他公理的，並且可以用不同的“平行公理”來替代它。高斯關於非歐幾何的信件和筆記在他生前一直沒有公開發表，只是在他1855年去世後出版時才引起人們的注意 ^[2]  。羅巴切夫斯基和波爾約分別在1830年前後發表了他們關於非歐幾何的理論。在這種幾何裏，羅巴切夫斯基平行公理替代了歐幾里得平行公理，即在一個平面上，過已知直線外一點至少有兩條直線與該直線不相交。由此可演繹出一系列全無矛盾的結論，並且可以得出三角形的內角和小於兩直角。羅氏幾何中有許多不同於歐氏幾何的定理。

繼羅氏幾何後，德國數學家黎曼在1854年又提出了既不是歐氏幾何也不是羅氏幾何的新的非歐幾何。這種幾何採用如下公理替代歐幾里得平行公理：同一平面上的任何兩直線一定相交。同時，還對歐氏幾何的其他公理做了部分改動。在這種幾何裏，三角形的內角和大於兩直角。人們把這種幾何稱為橢圓幾何。

直到1868年，意大利數學家貝爾特拉米在他出版的《非歐幾何解釋的嘗試》中，證明了非歐平面幾何可以局部地在歐氏空間中實現 ^[3]  。1871年，德國數學家克萊因認識到從射影幾何中可以推導度量幾何，並建立了非歐幾何模型。這樣，非歐幾何的相容性問題就歸結為歐氏幾何的相容性問題，由此非歐幾何得到了普遍的承認。 ^[1] 

羅巴切夫斯基幾何的公理系統和歐幾里得幾何不同的地方僅僅是把歐式幾何平行公理用“在平面內，從直線外一點，至少可以做兩條直線和這條直線平行”來代替，其他公理基本相同。由於平行公理不同，經過演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內容不同的新的幾何命題。

我們知道，羅氏幾何除了一個平行公理之外採用了歐式幾何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐式幾何中如果是正確的，在羅氏幾何中也同樣是正確的。在歐式幾何中，凡涉及到平行公理的命題，在羅氏幾何中都不成立，他們都相應地含有新的意義。所以羅氏幾何中的一些幾何事實沒有像歐式幾何那樣容易被接受。但是，數學家們經過研究，提出可以用我們習慣的歐式幾何中的事實作一個直觀“模型”來解釋羅氏幾何是正確的。

1868年，意大利數學家貝特拉米發表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實現。這就是説，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。

直到這時，長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學術界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨創性研究也就由此得到學術界的高度評價和一致讚美，他本人則被人們讚譽為“幾何學中的哥白尼”。

歐氏幾何與羅氏幾何中關於結合公理、順序公理、連續公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。歐式幾何講“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”。羅氏幾何講“ 過直線外一點至少存在兩條直線和已知直線平行”。那麼是否存在這樣的幾何“過直線外一點，不能做直線和已知直線平行”？黎曼幾何就回答了這個問題。

黎曼幾何是德國數學家黎曼創立的。他在1851年所作的一篇論文《論幾何學作為基礎的假設》中明確的提出另一種幾何學的存在，開創了幾何學的一片新的廣闊領域。

黎曼幾何中的一條基本規定是：在同一平面內任何兩條直線都有公共點（交點）。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過適當“改進”的球面。

近代黎曼幾何在廣義相對論裏得到了重要的應用。在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論裏，愛因斯坦放棄了關於時空均勻性的觀念，他認為時空只是在充分小的空間裏以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。在物理學中的這種解釋，恰恰與黎曼幾何的觀念是相似的。

此外，黎曼幾何在數學中也是一個重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎，也應用在微分方程、變分法和複變函數論等方面。

非歐幾何的產生與發展，在客觀上對研究了2000多年的第五公設作了總結，它引起了人們對數學本質的深入探討，影響着現代自然科學、現代數學和數學哲學的發展：

其一，隨着非歐幾何的產生，引起了數學家們對幾何基礎的研究，從而從根本上改變了人們的幾何觀念，擴大了幾何學的研究對象，使幾何學的研究對象由圖形的性質進入到抽象空間，即更一般的空間形式，使幾何的發展進入了一個以抽象為特徵的嶄新階段。可以説，非歐幾何的產生是數學以直觀為基礎的時代進入以理性為基礎的時代的重要標誌。

其二，非歐幾何的產生，引起了一些重要數學分支的產生。數學家們圍繞着幾何的基礎問題、幾何的真實性問題或者説幾何的應用可靠性問題等的討論，在完善數學基礎的過程中，相繼出現了一些新的數學分支，如數的概念、分析基礎、數學基礎、數理邏輯等，公理化方法也獲得了進一步的完善。

其三，非歐幾何學的創立為愛因斯坦發展廣義相對論提供了思想基礎和有力工具，而相對論給物理學帶來了一場深刻的革命，動搖了牛頓力學在物理學中的統治地位，使人們對客觀世界的認識產生了質的飛躍。

其四，非歐幾何學使數學哲學的研究進入了一個嶄新的歷史時期。18世紀和19世紀前半期最具影響的康德哲學，它的自然科學基礎支柱之一是歐幾里得空間。康德曾經説過：“歐幾里得幾何是人類心靈內在固有的，因而對於‘現實’空間客觀上是合理的。”非歐幾何的創立，衝破了傳統觀念並破除了千百年來的思想習慣，給康德的唯心主義哲學以有力一擊，使數學從傳統的形而上學的束縛下解放出來。用康托爾的話説“數學的本質在於其自由”。 ^[4] 

非歐幾何在數學創造方面提供了許多有益的啓示。

(1)非歐幾何的創立又一次驗證了以下結論：“重大問題的多重的獨立的發現或解決是一條規律，而不是例外”(梁宗巨語)。

(2)非歐幾何的創立也從一個側面證明了這樣一點：“一個新的數學概念的創造者的名望和地位在該概念的可接受性方面起着強制的作用，尤其是在新概念突破了傳統時是這樣。”

(3)一個重大問題的解決，往往需要許多代人的共同努力，才能取得成功，而後人總是“站在前人的肩膀上”的。 ^[5]