半範數

設p是定義於域

上線性空間

上的非負實值函數，滿足： ^[2] 

（1）次加性：

（2）正齊次性：

則稱p是

上的一個半範數，

稱為賦半範線性空間。 ^[4] 

注：半範數與範數的不同之處在於，由p(x)=0不能推出x=0.（使半範數值為0的元素不一定是0元素）。

線性空間

上的一族半範數

誘導出

上拓撲

，

的子基為半範數開球

。故

的子集U為開集當且僅當對於U中每點

都屬於U所包含的半範數開球的有限交，即存在

中p₁,...,p_n且ε₁,...,ε_n>0滿足

。

在該誘導拓撲下為拓撲線性空間。 ^{[3]  [5]} 

設p為半範數。

p(0)=0。

p(x₁-x₂)≥|p(x₁)-p(x₂)|。 ^[4] 

X上的半範數與X上的均衡、吸收、凸子集有着自然的聯繫。

定義2（拓撲線性空間） ^[2]  設X為實數域或複數域K上的線性空間，*是X上的拓撲，如果

（1）加法是

的連續映射；

（2）數乘是

的連續映射；

則稱

是X上的向量拓撲，稱（X，*）為拓撲線性空間。

在分析中起重要作用的是由一組滿足分離公理的半範數來定義的局部凸拓撲線性空間。

定義3 ^[2]  對線性空間X中的非空子集S，

（1）稱S為凸集，指對任何

，必有

（2）稱S為均衡集，指對任何

，必有

（3）稱S為吸收集，指對任何

，必存在ε>0 ，使得對

，均有 ^[3] 

注：由定義可見，任何均衡集和吸收集均包含0。

定理1 ^[2]  設p是線性空間X的一個半範數，c>0，集合

，則S是X中的凸的均衡吸收子集。

證明：根據上述定義2（半範數的定義）可知，

i）對

，有

，故

即S為凸的；

ii）對

，有

，故

即S為均衡的；

iii）對

，

時顯然存在

，使得

.

時取

（其中

為足夠 小的正數），故

，即S為均衡的；

綜上所述，證得S是X中的凸的均衡吸收子集。

定義4 ^[2]  設S為線性空間X中的吸收凸子集，稱X上的泛函

為S的閔可夫斯基泛函。

定理2 ^[2]  設S是線性空間X中的吸收凸子集，則S的閔可夫斯基泛函滿足：

如果S還是均衡的，則p是X上的半範數。

證明：由閔可夫斯基泛函的定義，對

，均有

因而由S的凸性可得

即

由閔可夫斯基泛函的定義，得

由

的任意性，得

對

是顯然的。

當S均衡時，對任意的

，若

，由S的均衡性即得

從而，

由閔可夫斯基泛函的定義，

同樣，又可得

，因此

證畢。

設

是X上的一族半範數，

記

又對

，U是X的一個子集，記

在線性拓撲空間中，由於加法的連續性，當U為0的鄰域時，

是x的鄰域。

定理3 ^[2]  設

是X上的一族半範數，滿足分離性，即對任何

，存在

，使得

，則

（1）對

及

是X中的均衡吸收凸子集；

（2）由一切形如

的集合生成的拓撲為豪斯多夫空間（若拓撲空間中任意兩個不同的點有互不相交的鄰域，則稱該拓撲空間滿足

分離公理，也稱該拓撲空間為豪斯多夫空間），以

為x的鄰域基；

（3）按上述拓撲，X為拓撲線性空間；

（4）每個半範數

均是連續的。

證明：（1）因為

而任何有限個均衡吸收凸子集的交仍是均衡吸收凸子集，再利用定理1即可證。

（2）關於生成拓撲的鄰域基的結論是顯然的，這裏只證明豪斯多夫分離性。由於點x處的鄰域基可由0點處的鄰域基平移得到，所以，只需對

和

，證明

必包含於互不相交的鄰域中即可。

由半範數的族的分離性，可取

，使

由拓撲的定義，

是

的鄰域，

是

的鄰域，今證

. 若不然，上式左端的交集中任取y，則必有

，使

，於是

矛盾。

（3）由（2）中所給鄰域基的形式可知，對0的任一鄰域U，總存在0的鄰域V，使得U包含集合

再利用

得當

時，

所以，加法運算

在

是連續的。

設有數

和

對任意的一組

和

，取

當

有

即

由此可知，數乘運算

在

是連續的。由此可知，按上述拓撲，X是拓撲線性空間。

（4）由

得當

時，

即

在任何點

處連續。證畢。

定義5（局部凸空間） ^[2]  如果拓撲線性空間滿足

分離公理（若拓撲空間中任意兩個不同的點有互不相交的鄰域，則稱該拓撲空間滿足

分離公理），而且X中任何包含0 的開集都包含一個均衡吸收的凸開集，則稱X為局部凸的拓撲線性空間，簡稱為局部凸空間。

由上述定理2和定理3可以得到如下結論。

定理4 ^[2]  X是局部凸空間的充要條件是它由一族滿足分離性的半範數族按定理3所述的方式拓撲化而得的拓撲線性空間。（實際上，這個半範數族即是由X的諸均衡吸收凸開集的閔可夫斯基泛函組成。）