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拓撲線性空間
鎖定
拓撲線性空間定義
（2）標量乘法是𝔽×𝒳→𝒳的連續映射；
拓撲線性空間不變性
設𝒳為𝔽上拓撲線性空間。
與每個a∈𝒳以及非零λ∈𝔽相聯繫的平移算子Ta與乘性算子Mλ定義為對x∈𝒳
Ta(x)=a+x，Mλ(x)=λx
則Ta與Mλ為𝒳到𝒳上的同胚。
拓撲線性空間性質
設X,Y為拓撲線性空間，𝔅為X的原點的鄰域基。
𝔅的任意元均為𝔅的某元的閉包。
X的原點的鄰域為吸收集。
X為局部緊空間，當且僅當𝔅中存在預緊開集。
同時為T1空間的X是豪斯多夫空間。
[5]
若Z是X的凸集，則Z的閉包亦然。
若Z是X的均衡集，則Z的閉包亦然。
若Z是X的有界集，則Z的閉包亦然。
X是賦範空間，當且僅當X是局部凸空間和局部有界空間。
連續線性映射T:X→Y為有界映射。
[6]
拓撲線性空間例子
拓撲線性空間發展史
拓撲線性空間理論是泛函分析的一個重要分支，又稱之為拓撲向量空間，它是具有拓撲結構的線性空間，是賦範線性空間概念的推廣。
[1]
其基本概念建立於20世紀30年代，而今已經發展成為一門完整的學科，在純粹數學和應用數學、理論物理、現代力學和現代工程理論中都有廣泛應用。
[2]
20世紀初，法國數學家弗雷歇在引入距離空間，並用距離概念來統一過去分析學中的許多重要收斂時，就知道[a，b]上一列函數的“點點收斂”概念是不能用距離收斂來描述的。20世紀30年代以來，泛函分析中大量應用弱收斂、弱拓撲，它們都不能用距離來描述。這就很自然地把賦範線性空間理論發展成更一般的拓撲線性空間理論，其中最主要的成就是局部凸拓撲線性空間理論。這一分支的發展是與一般拓撲學的發展緊密聯繫在一起的。拓撲學方法在這裏發揮了極其重要的作用，法國數學家勒雷和波蘭數學家紹德爾所推廣的不動點定理就是有力的例證之一。1935年以後，經過十多年的努力，這一分支終於形成，它的許多結果不僅在泛函分析中有着廣泛的應用，而且為其他分析學科的深入研究提供了基本框架和有力的工具。
[1]
拓撲線性空間相關概念
拓撲空間
分析數學中常常出現各種不同的收斂性，它們都可以統一地用拓撲空間的語言來刻畫。
（1）
（2）
中任意個集合的和集屬於
；
（3）
中任意兩個集合的交集屬於
；
則稱
為拓撲空間，稱
為X上的拓撲，稱
中的集合為
中的開集，稱開集的餘集為閉集。
注：在拓撲
明確的情況下，常簡稱X為拓撲空間。
現代數學常見的空間中不僅具有拓撲結構，而且元素之間可以自然地進行線性運算，其中線性運算關於相應的拓撲還是連續的。
拓撲線性空間拓展
距離線性空間
如果拓撲線性空間中的拓撲由度量導出，則得到度量線性空間的概念。由於任何度量線性空間均可改賦一個等價的平移不變的度量，即滿足
定義4 設X為線性空間，定義於X上的
滿足：
（1）
（2）
（3）
（4）
則稱X為賦準範線性空間。
賦準範線性空間是一個具有平移不變距離的距離線性空間，其距離由
