局部凸空間

拓撲線性空間X是局部凸空間，若滿足以下任一等價條件 ^[5] 

（1）X有由凸集組成的基。 ^[3] 

（2）X的原點的鄰域基𝔅由凸集組成。 ^{[3]  [4]} 

設X為線性空間，X有半範數族{p_α}_α∈A ^[2]  ，並有

U_xαε={y∈X:p_α(y-x)＜ε}

τ為由U_xαε生成的拓撲。

(1)U_xαε的有限交生成x的鄰域基。

(2)若<x_i>_i∈I為X的網，則x_i→x當且僅當p_α(x_i-x)→0。

(3)(X,τ)為局部凸空間。 ^[1] 

設X為線性空間，其拓撲由半範數族{p_α}_α∈A決定。則X為豪斯多夫空間，當且僅當對每個非零的x，存在A中α，使得p_α(x)非零。 ^[3] 

設X為局部凸線性空間。

X 的開集的每個點為其內點。 ^[6]