弗雷歇空間

可數半範數族決定的完備豪斯多夫拓撲線性空間稱為弗雷歇空間。 ^[6] 

等價定義為

設X為拓撲空間，若對於X的每一子集A與x∈A，存在A中的序列{x_n}使得{x_n}收斂於x，則稱X為弗雷歇空間。

弗雷歇空間(Frechet space)是一類特殊的序列空間。

第一可數空間是弗雷歇空間，弗雷歇空間是序列空間，反之均不成立。但有人也把T1空間稱為弗雷歇空間。 ^[2] 

弗雷歇（Fréchet，Maurice-René），法國數學家，1878 年 9月2日生於馬利尼，1973年6月4日卒於巴黎。

1910 ～ 1919年任普瓦捷大學大學教授 ，1920年任斯特拉斯堡大學高等微積分學教授。1928年起執教於巴黎大學，先後任概率論講師、一般數學教授、微積分學教授和概率論教授。弗雷歇首次提出抽象空間的定義，奠定了抽象空間的理論。他對數學分析和概率論也有貢獻。 ^[1] 

在拓撲學及其相關的數學分支中，拓撲空間（topological space）是一個點的集合，其部分子集構成一個族滿足一些公理。拓撲空間的定義僅依賴於集合論，是帶有連續，連通，收斂等概念的最基本的數學空間。

設X是一個集合，O是一些的子集構成的族，則(X，O)被稱為一個拓撲空間，如果下面的性質成立：

1. 空集和X屬於O，

2.O中任意多個元素的並仍屬於O，

3.O中有限個元素的交仍屬於O。

這時，X中的元素成為點（point），O中的元素成為開集（open set）。我們也稱O是X上的一個拓撲。

“空間”是一個古老的概念，它幾乎與人類一起產生。非歐幾何的發現，擴大了人們的視野，數學家們也開始由有限維的現實空間轉向對抽象空間的討論。在 數 學 上，弗 雷 歇 (Maurice Fréchet，1878 －1973) 最重要的貢獻莫過於創造了度量空間的抽象理論，他的工作為點集拓撲學和泛函分析奠定了堅實的基礎。弗雷歇運用康托爾(Georg Cantor，1845－ 1918) 所創立的集合論思想，對人類所生存的三維空間進行了推廣，他把滿足某種結構的集合看成是“空間”，以此為出發點，就可將數學中的許多問題轉化為“空間”上的泛函或者“空間”之間的算子的研究。弗雷歇的這一想法在他1906年的博士論文《關於泛函演算若干問題》中給出了十分滿意的答案，而這篇博士論文也成為弗雷歇一生最為重要的數學工作。事實上，在1904年至1905年間，弗雷歇已經有四篇註解和兩篇研究論文為他的博士論文打下了堅實的基礎。 ^[3] 

1904年至1905年間，關於抽象空間理論，弗雷歇發表了四篇註解，這些文章均刊登在法國科學院報告中。

1904年9月，他的第一篇註解發表，從而開始了其對抽象空間理論的研究。在這篇註解中，他引進了一種空間，這種空間中的元素可以是任意的( 如數，線，面等)。弗雷歇將這種空間稱為C類空間，如果C類空間中的無窮序列A1，A2，…，An，…有極限A的話，則此序列必滿足以下兩個條件:

(1) 若{An} 的極限是A，則{An} 的任意一個無窮子序列的極限也是A。

(2) 若對於每一個i，都有Ai= A，則{An} 的極限也為A。弗雷歇博士論文的第一章主要是對L類空間進行研究的，他的L類空間實際上就是本篇註解中的C類空間，但弗雷歇對L類空間多補充了一條，即要求序列的極限是唯一的。在對C類空間進行討論之前，弗雷歇指明知道依賴某些元素的量在指定區域內達到極值的問題在很多情況下是非常重要的，這裏他引用了狄利克雷(P． G． Dirichlet，1805 － 1859) 原則作為他的一個論證。緊接着他給出了魏爾斯特拉斯 (Karl Weier-strass，1815 － 1897) 定理，即在有限區域內的連續函數，至少存在一點，使得函數值在這點處達到最大值。

弗雷歇想要做的事情就是將魏爾斯特拉斯定理推廣到由任意特性的元素構成的空間中去。正是在這種動機，他開始考慮任意特性的元素所構成的空間上的函數的連續性問題，弗雷歇稱這類問題為泛函。如果C類空間中的無窮序列{An} 有極限A的話，則需要滿足前面提到的那兩個條件，在此基礎上，他開始在有界閉區域上定義連續泛函。

在第二篇註解中，弗雷歇開始嘗試從集合論、線性函數以及泛函等各種理論中找出它們的共同點。這種思想在集合論中是非常重要的，正如弗雷歇在第一篇註解中引進序列和序列的極限概念而不考慮其中的元素是由什麼構成的。這篇註解中，弗雷歇主要回答了一個問題，即一個集合的導集並不一定總是閉集。他所採用的方法是給出了下面的一個反例: 將所有關於實變量x的實係數多項式構成的集合記為E，E中的元素構成一個序列{fn(x) } 如果對於任意的x，均有limn→∞fn(x)= f(x) ， (1)則fn的極限為f。

這裏，弗雷歇並沒有解釋為什麼E的導集不是閉的，但是從後面的討論中可以清楚地看到，在他的腦子裏已經有貝爾(René Louis Baire，1874 － 1932)函數的概念。這個問題對弗雷歇來説非常重要，因為他發現，要想進一步對一些定理進行推廣，則滿足某種結構的集合所構成的空間必須具備一條性質，即在這個空間中，任意一個集合的導集一定是閉集。

從這個例子我們可以看出，弗雷歇是從實變函數論開始他的抽象空間理論研究的，因為他的工作中有涉及關於勒貝格(H． Lebesgue，1875 － 1941) 測度方面的內容，當然，他也是知道勒貝格有關積分方面的研究的。弗雷歇關於討論實變函數序列的想法在其1904年－ 1905年間和勒貝格的通信中就有所體現，這種想法對弗雷歇以及勒貝格證明下面的定理起着至關重要的作用。

1905年2月27日，弗雷歇的第三篇註解發表。在這篇註解中，弗雷歇給出了他的一般理論的一個具體例子:在由實數構成的序列{an} 所組成的空間中，每個序列都被看做是空間中的一個元素。如果令A ={ak} ，An={a(n)k} ，則{An} 的極限是A，當且僅當對於任意的k，都有limn→∞a(n)k= ak。弗雷歇將滿足此條件的空間稱為E∞類空間，弗雷歇發現在E∞類空間中，每一個導集都是閉集，同時他還給出了此空間中一個集合緊緻的充要條件，即得到了這樣的結果: 在E∞類空間中，一個集合是緊緻的，當且僅當存在一個由正數構成的序列{Mk} ，使得對於任意的k和這個集合中的每個元素A ={ak} ，均有| ak| < Mk。

這裏，弗雷歇還定義了一個集合的凝聚點，他稱一個點為一個集合的凝聚點，如果這個點是這個集合的極限元素，同時也是從這個集合中以任意的方式除去一個可數子集後所構成的新集合的極限元素。接着，弗雷歇稱自己已經成功證明了許多結果，如E∞類空間中的一個子集是緊緻的，當且僅當這個子集是有界的;E∞類空間中的任一子集的導集是閉集;E∞類空間中的每個不可數的有界子集至少有一個凝聚點。當然，在這篇註解中，弗雷歇並沒有給出這些定理的證明過程。 ^[4] 

1905年3月20日，弗雷歇發表了第四篇註解。在這篇註解中，他仍然研究的是抽象的點集理論，但與以往不同的是，這裏一個序列{An} 存在極限A的定義是通過其所在空間中元素和元素的鄰近程度來刻畫的。

弗雷歇首先定義兩個元素間的距離，即由具有任意特性的元素構成的空間中，對於空間中的任意兩個元素A和B，都存在着一個實數，用(A，B) 來表示，這個實數稱為A和B之間的距離，如果它滿足下面三條性質:

(1) (A，B)≥0;

(2) (A，B)= 0當且僅當A = B;

(3) (A，C) 與(B，C) 的和無限小時，就是(A，B)。

這裏弗雷歇並沒有明確地提到(A，B)=(B，A) ，同時第三條的意思也並不是特別清楚，但弗雷歇在他的博士論文中對這一條給出了精確的表述，可以看出弗雷歇實際上是想刻畫鄰域這個概念的。 ^[5]