序列空間

更一般的希爾伯特空間都是無窮維的，假設

是一個任意集合，可以定義其上的

序列空間，記為

此空間在定義如下內積後，成為一個希爾伯特空間：

其中

和

是

中的任意元素。在這個定義中，

並非一定要是可數的，在

不可數之情形下，

不是可分（separable）的。在下面更具體的例子中，所有的希爾伯特空間在選定適當的

的情況下，都可以表示成為

的一個同構空間。特別地，當

的時候，可以將其簡單記為

。

及其上的內積

構成了一個希爾伯特空間，其中短橫線表示一個複數的復共軛。

勒貝格空間( 這裏指

空間 )是指定義在測度空間上的函數空間，其中

代表函數的定義域，

的元素是

上的子集族，為 一個

代數，一般把

稱作可測空間(measurable space)，而

是

上的測度。

更仔細的説，

( 簡寫做

) 表示

上所有平方可積（square-integrable）的複數值的可測函數的集合。平方可積表示該函數的絕對值的平方的積分是有限的。要注意的是在

空間裏，對於幾乎處處( almost everywhere )相同的函數，也就是説如果兩函數只在一個測度為0的集合上不相等，我們把這兩函數當做在

中相同的元素。

此時兩個函數f和g的內積定義為

因為

，所以這內積的定義沒有問題。

但需要證明的是：

這個證明可以在相關的書籍中找到，與此例相關的內容可以參看關於

空間的著作 ^[1]  。

索伯列夫空間一般表示為

或者

是希爾伯特空間的另一個重要實例，它多被應用於偏微分方程的研究 ^[2]  。