可測函數

設f是定義在可測集E上的實函數。如果對每一個實數，集E[f>a]恆可測（勒貝格可測），則稱f是定義在 E上的（勒貝格）可測函數。 ^[1] 

定理　設f是定義在可測集E上的實函數，下列任一個條件都是在E上（勒貝格）可測的充要條件：

（1） 對任何有限實數a，E[f>=a]都可測；

（2） 對任何有限實數a，E[f<a]都可測；

（3） 對任何有限實數a，E[f=<a]都可測；

（4） 對任何有限實數a,b，E[a=<f<b]都可測。

設(X,F)為一可測空間，E是一個可測集。f: E→R*為定義在E上的函數。若對任意實數a，總有{x∈E: f(x)<a}∈F，則稱f為E上的F-可測函數（簡稱E上的可測函數）。

特別地，若可測空間取為是Rⁿ上的Lebesgue可測空間。E是Rⁿ中的Lebesgue可測集。則E上的可測函數成為Lebesgue可測函數。若可測空間取為Rⁿ上的Borel可測空間，E是Rⁿ中的Borel集，則E上的可測函數稱為Borel可測函數。

如果(X,Σ)和(Y,Τ)是波萊爾空間，則可測函數f又稱為波萊爾函數。所有連續函數都是波萊爾函數，但不是所有波萊爾函數都是連續函數。然而，可測函數幾乎是連續函數；參見盧辛定理。

根據定義，隨機變量是定義在樣本空間上的可測函數。

（1）兩個可測的實函數的和與積也是可測的。 ^[2] 

（2）如果函數f是

可測的，函數g是

可測的，那麼複合函數

是

可測的。

（3）可數個可測函數的最小上界也是可測的。如果

是一個可測函數序列，在[−∞,+∞]中取值，那麼

也是可測的。

（4）可測函數的逐點極限是可測的。（連續函數的對應命題需要比逐點收斂更強的條件，例如一致收斂。）

（5）只有可測函數可以進行勒貝格積分。

（6）一個勒貝格可測函數是一個實函數f:R→R，使得對於每一個實數a，集合

都是勒貝格可測的集合。勒貝格可測函數的一個有用的特徵，是f是可測的當且僅當mid{-g,f,g}對於所有非負的勒貝格可積函數g都是可積的。

不是所有的函數都是可測的。例如，如果A是實數軸

的一個不可測子集，那麼它的指示函數

是不可測的。