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可測集
鎖定
設E ⊂R^n，若對任意的點集T⊂R^n ，有 m*(T)=m*(T∩E)+m*(T∩E^c)，則稱E為Lebesgue可測集，簡稱可測集，可測集的全體記為M，對於可測集E，稱其外測度為測度，記為m(E)。可測集具有許多重要的性質：可測集的補集也是可測集；若A,B為可測集，則A∪B，A∩B，A\B皆為可測集；可測集列的並集和交集分別為可測集。常見的可測集有R^n中的矩體、開集、閉集、Borel集等。
- 中文名
- 可測集
- 外文名
- Measurable set
- 所屬學科
- 測度論
- 記號1
- 記可測集的全體為M
- 記號2
- 記測度為m(E)
- 性 質
- 可測集補集也是可測集
- 應用學科
- 實變函數
- 類 型
- 函數領域術語
可測集可測集
可測集勒貝格可測集
注意事項如下：
（1）可測集的全體記為M，對於可測集E，稱其外測度為測度，記為m(E)。
（2）稱測度為零的可測集為零測集。空集、有限集、可數集皆為零測集。
可測集相關定理
可測集零集
證明：設E為零集，m*(E)=0，任意A⊂R，因為A∩E⊂E，所以有0≤m*(A∩E)≤m*(E)，得m*(A∩E)=0，於是
可測集可測集的補集
可測集可測集的並集交集
若A,B為可測集，則A∪B，A∩B，A\B皆為可測集。
證明：對任意
，易得
，依次利用外測度的次可加性、B的可測性（取
為試驗集）以及A的可測性（取T為試驗集），有：
且
故得到
。
可測集可數可加性
若
是互不相交的可測集列，則並集
為可測集，且
。
證明：對任意的
，由外測度的次可加性等性質可知
可測集可測集列的交與並
可測集可測集類
可測集第一類
證明：設矩體
，對任意矩體
，不妨設
。記矩體
，把
分割成有限個互不相交的矩體之並：
，則有
，從而得到
可測集第二類
由
中開集的構造可知，每個開集可寫成可列個互不相交的半開半閉的矩體之並，故開集必為可測的。由此易得到如下結論：
可測集可測集的等價刻畫
設
，則下列條件等價：
（1）E是可測集；
（2）對任意ε>0，存在開集G⊃E，使m*(G\E)<ε；
（3）對任意ε>0，存在閉集F⊂E，使m*(E\F)<ε；
（4）存在
集H⊃E，使得m(H\E)=0；
