指示函數

在數學中，指示函數是定義在某集合X上的函數，表示其中有哪些元素屬於某一子集

，常應用在集合論中。指示函數有時候也稱為特徵函數。已經少用這一稱呼。概率論有另一意思迥異的特徵函數。

集X的子集

的指示函數是函數

，定義為

.

的指示函數也記作

或

把

的子集

對應到它的指示函數的映射是雙射，值域是所有函數

的集合。

如果

和

是

的兩個子集，那麼

以及

更一般地，設

是

的子集。對任意

，可知

當且僅當x不屬於任何

。

故有

展開左式

其中

是

的勢。這是容斥原理的一個形式。

如上一例子所示，指示函數是組合數學一個有用記法。這記法也用在其他地方，例如在概率論：若

是概率空間，有概率測度P，

是可測集，那麼

就是隨機變量，其期望值等於

的概率 ^[1]  ，

這等式用於馬爾可夫不等式的一個簡單證明裏。