馬爾可夫不等式

馬爾可夫不等式把概率關聯到數學期望，給出了隨機變量的累積分佈函數一個寬泛但仍有用的界。

設X為一非負隨機變量，則P(|x|≥a)≤E(|X|)/a。若用測度領域的術語來表示，馬爾可夫不等式可表示為若(X, Σ, μ)是一個測度空間，ƒ為可測的擴展實數的函數，且ε≥0，則

有時上述的不等式會被稱為切比雪夫不等式。

令M≥0為自共軛矩陣形式的隨機變量，且a>0，則有：

馬爾可夫不等式可用來證明切比雪夫不等式。

切比雪夫不等式使用變異數來作為一隨機變量超過平均值機率的上限，可以用下式表示：Pr(|X-E(X)|≥a)≤Var(X)/a，對任意a>0，Var(X)為X的變異數，定義如下：Var(X)=E[(X-E(X))²]。若以馬爾可夫不等式為基礎，切比雪夫不等式可視為考慮隨機變量(X-E(X)²)。根據馬爾可夫不等式，可得到以下的結果：Pr((X-E(X)²)≥a)≤Var(X)/a。

馬爾可夫不等式可用來證明一個非負的隨機變量，其平均值和中位數滿足的關係。

馬爾可夫不等式的一個實際應用是，超過5倍於人均收入的人數不會超過總人數的1/5。 ^[1]