切比雪夫定理

19世紀俄國數學家切比雪夫研究統計規律中，論證並用標準差表達了一個不等式，這個不等式具有普遍的意義，被稱作切比雪夫定理，其大意是：

任意一個數據集中，位於其平均數±m個標準差範圍內的比例（或部分）總是至少為1－1/m²，其中m為大於1的任意正數。對於m=2，m=3和m=5有如下結果：

所有數據中，至少有3/4（或75%）的數據位於平均數2個標準差範圍內。

所有數據中，至少有8/9（或88.9%）的數據位於平均數3個標準差範圍內。

所有數據中，至少有24/25（或96%)的數據位於平均數5個標準差範圍內 ^[2]  。

切比雪夫不等式可以使人們在隨機變量X的分佈未知的情況下，對事件

概率作出估計。 ^[3] 

設隨機變量X具有數學期望

，方差

則對任意正數ε，不等式

或

成立。

注意：應用切比雪夫不等式必須滿足E(X)和D(X)存在且有限這一條件。

若對於任意的ε>O，當n很大時，事件“

”的概率接近於0，則稱隨機變量序列{X_n}依概率收斂於a ^[4]  。正因為是概率，所以不排除小概率事件“”發生。所以，依概率收斂是不確定現象中關於收斂的一種説法，記為

。 ^[3] 

設X₁，X₂，…，X_n，…是相互獨立的隨機變量序列，數學期望E(X_i)和方差D(X_i)都存在(i=1，2，…)，且D(X_i)<C(i=1，2，…)，則對任意給定的ε>0，有

^[6] 

特別地：X₁，X₂，…，X_n，…是相互獨立的隨機變量序列，數學期望E(X_i)=μ和方差D(X_i)=σ²(i=1，2，…)，則對任意給定的ε>0，有

即 ^[3] 

切比雪夫定理的這一推論，使我們關於算術平均值的法則有了理論根據．設測量某一物理量a，在條件不變的情況下重複測量n次，得到的結果X₁，X₂，…，X_n是不完全相同的，這些測量結果可看作是n個獨立隨機變量X₁，X₂，…，X_n的試驗數值，並且有同一數學期望a。於是，按大數定理j可知，當n足夠大時，下式成立，即

上式表明，n足夠大時，把n次測量結果的算術平均值作為a的近似值，所產生的誤差是很小的。 ^[5]