勒貝格可測函數

勒貝格可測函數簡稱(L)可測函數，是比連續函數更廣的一類函數。

設f(x)是定義在(L)可測集E⊂Rⁿ上的擴充實值函數。若對任意實數α，點集{x∈E|f(x)>α}是(L)可測集，則稱f(x)是可測函數。在這個定義中，不等式f(x)≥α，f(x)<α，f(x)≤α中對任何一個來代替。

定義在(L)零測度集上的任何實值函數以及區間上的半連續函數都是(L)可測函數。

定義在(L)可測集上的任何連續函數都是(L)可測函數，但可測函數不一定連續。

勒貝格可測函數的主要性質有：

1、若f(x)與g(x)在E上(L)可測，且在E上幾乎處處取有限值，則它們的和、差、積、商（分母不為零）均(L)可測；

2、若{f_n(x)}是E上的(L)可測函數列，則下列函數都是E上的(L)可測函數：

3、若{f_n(x)}是E上的(L)可測函數列，且以f(x)為極限，則f(x)在E上也(L)可測；

4、若f(x)與g(x)在E上幾乎處處相等，則它們或都(L)可測，或都(L)不可測；

5、若f(x)在E上(L)可測，又E₀為E的(L)可測子集，則f(x)在E₀上也(L)可測；

6、若f(x)在每個E_i上都(L)可測，則f(x)在

和

上也(L)可測；

7、在可測集E上定義的函數可測的充分必要條件是，它可以表示成簡單函數列的極限。 ^[1]