勒貝格可積函數

勒貝格可積函數是指其勒貝格積分為有限數的函數，簡稱(L)可積函數。

若f(x)是可測集E⊂Rⁿ上的(L)可測函數，則當勒貝格積分

為有限數時，它稱為勒貝格可積的，記為f(x)∈L(E)。

在(L)測度有限的集上，有界可測函數都是(L)可積函數。

對於一般的可測函數f(x)，當且僅當

和

都是有限數，也就是|f|∈L(E)時，f(x)在E上(L)可積。

勒貝格可積函數是平均連續的。

若函數f(x)在[a,b]上黎曼可積，則f(x)在[a,b]上必勒貝格可積，且兩種積分值相等：

該命題逆之不真。例如：狄利克雷函數D(x)（有理數集的特徵函數）在[0,1]上勒貝格可積，但不黎曼可積。 ^[1] 

勒貝格積分是現代數學中的一個積分概念，它將積分運算擴展到任何測度空間中。在最簡單的情況下，對一個非負值的函數的積分可以看作是求其函數圖像與軸之間的面積。勒貝格積分則將積分運算擴展到其它函數，並且也擴展了可以進行積分運算的函數的範圍。最早對積分運算的定義是對於非負值和足夠光滑的函數來説，其積分相當於使用求極限的手段來計算一個多邊形的面積。但是隨着對更加不規則的函數的積分運算的需要不斷產生（比如為了討論數學分析中的極限過程，或者出於概率論的需求），很快就產生了對更加廣義的求極限手段的要求來定義相應的積分運算。