特徵函數

在概率論中，任何隨機變量的特徵函數(縮寫：ch.f,複數形式：ch.f's)完全定義了它的概率分佈。在實直線上，它由以下公式給出，其中X是任何具有該分佈的隨機變量：

其中t是一個實數，i是虛數單位，E表示期望值。

用矩母函數M_X（t）來表示（如果它存在），特徵函數就是iX的矩母函數，或X在虛數軸上求得的矩母函數。

與矩母函數不同，特徵函數總是存在。

如果F_X是累積分佈函數，那麼特徵函數由黎曼-斯蒂爾切斯積分給出：

如果隨機變量的概率密度函數存在，概率密度函數為，上述積分可以簡化為：

其中

是隨機變量X的概率密度函數。

如果X是一個向量值隨機變量，我們便取自變量t為向量，tX為數量積。 ^[1] 

特徵函數具有以下基本性質：

如果兩個隨機變量具有相同的特徵函數，那麼它們具有相同的概率分佈； 反之， 如果兩個隨機變量具有相同的概率分佈， 它們的特徵函數也相同(顯然)。

獨立隨機變量和的特徵函數等於每個隨機變量特徵函數的乘積。 ^[1] 

在累積概率分佈函數與特徵函數之間存在雙射。也就是説，兩個不同的概率分佈不能有相同的特徵函數。

給定一個特徵函數φ，可以用以下公式求得對應的累積概率分佈函數F：

。

一般地，這是一個廣義積分；被積分的函數可能只是條件可積而不是勒貝格可積的，也就是説，它的絕對值的積分可能是無窮大。 ^[2] 

任意一個函數

是對應於某個概率律

的特徵函數，當且僅當滿足以下三個條件：

是連續的；

；

是一個正定函數（注意這是一個複雜的條件，與

不等價）。

特徵函數對於處理

特徵函數對於處理獨立隨機變量的函數特別有用。例如，如果X1、X2、……、Xn是一個獨立（不一定同分布）的隨機變量的序列，且

其中ai是常數，那麼Sn的特徵函數為：

特別地，

。這是因為：

。

注意我們需要

和

的獨立性來確立第三和第四個表達式的相等性。

另外一個特殊情況，是

且

為樣本平均值。在這個情況下，用

表示平均值，我們便有：

。

由於連續定理，特徵函數被用於中心極限定理的最常見的證明中。

特徵函數還可以用來求出某個隨機變量的矩。只要第n個矩存在，特徵函數就可以微分n次，得到：

例如，假設X具有標準柯西分佈。那麼

。它在 t=0處不可微，説明柯西分佈沒有期望值。另外，注意到

個獨立的觀測的樣本平均值

具有特徵函數

，利用前一節的結果。這就是標準柯西分佈的特徵函數；因此，樣本平均值與總體本身具有相同的分佈。

特徵函數的對數是一個累積量母函數，它對於求出累積量是十分有用的；注意有時定義累積量母函數為矩母函數的對數，而把特徵函數的對數稱為第二累積量母函數。 ^[3] 

具有尺度參數θ和形狀參數k的伽瑪分佈的特徵函數為：

假設我們有：

其中X和Y相互獨立，我們想要知道X+Y的分佈是什麼。X和Y特徵函數分別為：

根據獨立性和特徵函數的基本性質，可得：

這就是尺度參數為θ、形狀參數為k1+k2的伽瑪分佈的特徵函數，因此我們得出結論：

這個結果可以推廣到n個獨立、具有相同尺度參數的伽瑪隨機變量：