線性拓撲

由於線性拓撲是與線性結構“協調”的拓撲，因此，在線性拓撲空間中，集合的代數性質與拓撲性質有很密切的聯繫。 ^[2] 

1、線性拓撲空間X可賦範的充分必要條件是X的原點有一有界凸鄰域。

2、為使線性泛函f在E上連續，必須且只須在E中存在這樣的零鄰域，在該鄰域上泛函f有界。

連續性是拓撲的核心概念，這點也讓我們聯想到向量空間。由定義，向量空間是定義了兩種函數的集合：矢量和以及標量乘積。為了一定的目的，向最空間上的拓撲需要這些函數是連續的。

因為在線性空間上唯一值得考慮的拓撲就是線性的，線性拓撲向量空間通常簡寫為拓撲向量空間(topological vector space)，其簡寫為TVS。在這個定義的引用中，標量集合R給定它的標準拓撲，以及乘積L

L和R×L

分別是各自的乘積拓撲。需要注意的是，表示標量乘積的“函數”並沒有相應的符號，因為在我們把矢量和寫作x+y的時候，並沒有在φ和x的乘積φx中間有任何符號。此外，要得到一個線性拓撲，這樣的“看不見的”運算必須是連續的。

線性拓撲的平移不變性簡化了用基來描述拓撲的特徵：在向量空間中的任意點拓撲都足夠描述基。最顯然的是我們選擇向量空間的原點，所以通常讀者會看到TVS在0的基。