閉圖像定理

設X，Y為巴拿赫空間，T：X

Y為線性算子。定義T的圖像為

的子空間 ^[1] 

Γ(T)={(x，T(x))

，x

X}。

賦予

範數║(x，y)║_X×Y=║x║_X+║y║_Y，使得

成為巴拿赫空間。那麼，這定理指T是連續的（與有界等價）當且僅當Γ(T)在

內是閉集。

閉圖像定理可以從開映射定理推導出來。 ^[2] 

Γ(T)是閉集的充分必要條件是如果序列{(x_n，y_n)}_n包含於Γ(T)（即對任意n有y_n=T(x_n)），而(x_n，y_n)

(x，y)，那麼(x，y)

Γ(T)，y=T(x)。如果T是連續的，從連續性立刻可知Γ(T)是閉集，因為連續性是更強的條件：如果x_n

x，則T(x_n)

T(x)。

如果Γ(T)是閉集，可以在Γ(T)定義線性算子

π₁：Γ(T)

X，x是(x，y)的一個逆像，

π₂：Γ(T)

Y，y是(x，y)的一個逆像。

顯然║π₂(x，y)║_Y=║y║_Y

║(x，y)║_X×Y，因此π₂是有界算子。

Γ(T)是巴拿赫空間X

Y中的閉子空間，所以Γ(T)是巴拿赫空間。X也是巴拿赫空間，π₁是雙射，從而由開映射定理的系可知，其逆π₁^-1：X

Γ(T)為有界算子，因為T=π₂

π₁^-1，故T也是有界的。

從這定理可得出黑林格-特普利茨定理──希爾伯特空間上處處定義的對稱線性算子是有界的。

閉圖像定理可以通過以下方式推廣到更抽象的拓撲向量空間：

當且僅當其圖形在配備產品拓撲的X×Y空間中被關閉時，從圓筒空間X到Fréchet空間Y的線性運算符是連續的。

並且有一個不需要Y局部凸的版本：

如果兩個F空間之間的線性映射圖被關閉，則映射是連續的。

而閉圖像定理的一般版本是：

假設X和Y是兩個拓撲向量空間（它們不需要是Hausdorff或局部凸起），具有以下屬性：如果G是

任何閉合子空間，而y是任何連續映射 的G到X，那麼你是一個開放的映射。 在這種情況下，如果

是一個線性映射，其圖形被關閉，則f是連續的。