黑林格－特普利茨定理

設

為希爾伯特空間，

是處處定義的對稱線性算子，即對任意

都有等式

。

那麼，

有界（因此也是連續）。

從閉圖像定理可知，只需證明：如果序列

趨於0，

，那麼

。因為內積在

上連續，故得

=0

所以y=0.

1、任何對稱且在

上處處定義的算子是自伴算子。

2、無界自伴算子最多隻能定義在希爾伯特空間的一個稠密子集上。

這定理帶出了量子力學的數學基礎的一些技術難題。量子力學中的可觀察量對應到某個希爾伯特空間上的自伴算符，但一些可觀察量（如能量）的算符是無界的。這定理説這些算符不能處處定義，只能定義在稠密子集上。

以量子諧振子為例。這時希爾伯特空間是

，即

上平方可積函數空間，能量算符

定義為（設其單位選取使得

）

這算符是自伴無界的（其特徵值為1/2, 3/2, 5/2, ...），所以不能在整個

上定義。 ^[2]