橢圓

在數學中，橢圓是圍繞兩個焦點的平面中的曲線，使得對於曲線上的每個點，到兩個焦點的距離之和是恆定的。因此，它是圓的概括，其是具有兩個焦點在相同位置處的特殊類型的橢圓。橢圓的形狀（如何“伸長”）由其偏心度表示，對於橢圓可以是從0（圓的極限情況）到任意接近但小於1的任何數字。

橢圓是封閉式圓錐截面：由錐體與平面相交的平面曲線。橢圓與其他兩種形式的圓錐截面有很多相似之處：拋物線和雙曲線，兩者都是開放的和無界的。圓柱體的橫截面為橢圓形，除非該截面垂直於圓柱體軸線。

橢圓也可以被定義為一組點，使得曲線上的每個點的距離與給定點（稱為焦點）的距離與曲線上的相同點的距離的比值給定行（稱為directrix）是一個常數。該比率稱為橢圓的偏心率。

也可以這樣定義橢圓，橢圓是點的集合，點其到兩個焦點的距離的和是固定數。

橢圓在物理，天文和工程方面很常見。

平面內與兩定點

、

的距離的和等於常數

（

）的動點P的軌跡叫做橢圓。

即：

其中兩定點

、

叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離

叫做橢圓的焦距。

為橢圓的動點。

橢圓截與兩焦點連線重合的直線所得的弦為長軸，長為

。

橢圓截垂直平分兩焦點連線的直線所得弦為短軸，長為

。

可變為 。

橢圓平面內到定點

（c，0）的距離和到定直線

：

（

不在

上）的距離之比為常數

（即離心率

，0<e<1）的點的軌跡是橢圓。

其中定點

為橢圓的焦點，定直線

稱為橢圓的準線〈該定直線的方程是

（焦點在x軸上），或

（焦點在y軸上）〉。

根據橢圓的一條重要性質：橢圓上的點與橢圓長軸（事實上只要是直徑都可以）兩端點連線的斜率之積是定值，定值為

〈前提是長軸平行於x軸。若長軸平行於y軸，比如焦點在y軸上的橢圓，可以得到斜率之積為 -a²/b²=1/（e²-1）〉，可以得出：

在座標軸內，動點（

）到兩定點（

）（

）的斜率乘積等於常數m（-1<m<0）。

注意：考慮到斜率不存在時不滿足乘積為常數，所以

無法取到，即該定義僅為去掉四個點的橢圓。

橢圓也可看做圓按一定方向作壓縮或拉伸一定比例所得圖形。

在平面直角座標系中，用方程描述了橢圓，橢圓的標準方程中的“標準”指的是中心在原點，對稱軸為座標軸。

橢圓的標準方程有兩種，取決於焦點所在的座標軸：

1.焦點在X軸時，標準方程為：

2.焦點在Y軸時，標準方程為：

橢圓上任意一點到F1，F2距離的和為2a，F1，F2之間的距離為2c。而公式中的b²=a²-c²。b是為了書寫方便設定的參數。

又及：如果中心在原點，但焦點的位置不明確在X軸或Y軸時，方程可設為mx²+ny²=1（m>0，n>0，m≠n）。即標準方程的統一形式。

橢圓的面積是πab。橢圓可以看作圓在某方向上的拉伸，它的參數方程是：x=acosθ ， y=bsinθ

標準形式的橢圓在（x0，y0）點的切線就是 ：xx₀/a²+yy₀/b²=1。橢圓切線的斜率是：-b²x₀/a²y₀，這個可以通過複雜的代數計算得到。 ^[3] 

x=acosθ ， y=bsinθ。

求解橢圓上點到定點或到定直線距離的最值時，用參數座標可將問題轉化為三角函數問題求解

x=a×cosβ， y=b×sinβ a為長軸長的一半 b為短軸長的一半

（一個焦點在極座標系原點，另一個在θ=0的正方向上）

（e為橢圓的離心率=c/a）。

1、範圍：焦點在

軸上

，

；焦點在

軸上

，

。

2、對稱性：關於X軸對稱，Y軸對稱，關於原點中心對稱。

3、頂點：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）。

4、離心率：

或 e=√（1-b^2/a²）。

5、離心率範圍：0<e<1。

6、離心率越小越接近於圓，越大則橢圓就越扁。

7、焦點（當中心為原點時）：（-c，0），（c，0）或（0，c），（0，-c）。

8、

與

（m為實數）為離心率相同的橢圓。

9、P為橢圓上的一點，a-c≤PF1（或PF2）≤a+c。 ^[1] 

10、橢圓的周長等於特定的正弦曲線在一個週期內的長度。

定理1：設F1、F2為橢圓C的兩個焦點，P為C上任意一點。若直線AB切橢圓C於點P，且A和B在直線上位於P的兩側，則∠APF1=∠BPF2。（也就是説，橢圓在點P處的切線即為∠F1PF2的外角平分線所在的直線）。

定理2：設F1、F2為橢圓C的兩個焦點，P為C上任意一點。若直線AB為C在P點的法線，則AB平分∠F1PF2。

上述兩定理的證明可以查看參考資料。

解：設C：（（x^2）/（a^2））+（（y^2）/（b^2））=1-----式1；

（a^2）-（b^2）=（c^2）；

F1（-c，0）；F2（c，0）；P（xp，yp）

AB：（y-yp）=k（x-xp）=>y=kx+（yp-kxp）；令m=yp-kxp=>AB：y=kx+m-----式2；

聯立式1和式2消去y得：（（k^2）+（（b^2）/（a^2）））（x^2）+2kmx+（（m^2）-（b^2））=0；

因為直線AB切橢圓C於點P，所以上式只有唯一解，則：

4（（km）^2）-4（（k^2）+（（b^2）/（a^2）））（（m^2）-（b^2））=0=>m^2=（（ak）^2）+（b^2）；

m^2=（yp-kxp）^2=（（yp）^2）+（（kxp）^2）-2kxpyp=（（ak）^2）+（b^2）；

=>（（a^2）-（xp^2））（k^2）+2xpypk+（（b^2）-（yp^2））；

由根的判別式得：4（（xpyp）^2）-4（（a^2）-（xp^2））（（b^2）-（yp^2））=0；

所以k值有唯一解：k=（-2xpyp）/（2（（a^2）-（xp^2）））=-xpyp/（（a^2）-（xp^2））；

由式1得：（a^2）-（xp^2）=（ayp/b）^2=>k=-（xp（b^2））/（yp（a^2））；

m=yp-kxp=（（（ypa）^2）+（（xpb）^2））/（yp（a^2））=（（ab）^2）/（yp（a^2））=（b^2）/yp；

設A0F1、B0F2分別過F1、F2垂直AB於A0、B0；

A0F1：（y-0）=（-1/k）（x+c）=>x+ky+c=0-----式3；

聯立式2和式3消去y得：x=-（km+c）/（（k^2）+1）；

聯立式2和式3消去x得：y= （m-kc）/（（k^2）+1）；

則：A0：（-（km+c）/（（k^2）+1），（m-kc）/（（k^2）+1））；

|A0F1|^2=（（m-kc）^2）/（（k^2）+1））；

同理：B0F2：（y-0）=（-1/k）（x-c）；

=>B0：（（c-km）/（（k^2）+1），（m+kc）/（（k^2）+1））；

|B0F2|^2=（（m+kc）^2）/（（k^2）+1））；

|PF1|^2=（（xp+c）^2）+（yp^2）；

|PF2|^2=（（xp-c）^2）+（yp^2）；

證明：若∠APF1=∠BPF2，則直角三角形A0PF1與直角三角形B0PF2相似；

=>|A0F1|/|PF1|=|B0F2|/|PF2|

=>（|A0F1|^2）/（|PF1|^2）=（|B0F2|^2）/（|PF2|^2）

=>（|PF2|^2）/（|PF1|^2）=（|B0F2|^2）/（|A0F1|^2）

（（m+kc）^2）/（（m-kc）^2）=（（（xp-c）^2）+（yp^2））/（（（xp+c）^2）+（yp^2））；-----式4

m+kc=（b^2）/yp-（xpc（b^2））/（yp（a^2））=（（a^2）-xpc）（b^2）/（yp（a^2））；-----式5

m-kc=（b^2）/yp+（xpc（b^2））/（yp（a^2））=（（a^2）+xpc）（b^2）/（yp（a^2））；----式6

把式5和式6代入式4得：

（（（a^2）-xpc）^2）/（（（a^2）+xpc）^2）=（（（xp-c）^2）+（yp^2））/（（（xp+c）^2）+（yp^2））；

=>（（（a^2）-xpc）^2）（（（xp+c）^2）+（yp^2））=（（（a^2）+xpc）^2）（（（xp-c）^2）+（yp^2））

=>（（（a^2）-xpc）^2）（（xp+c）^2）+（（（a^2）-xpc）^2）（yp^2）=（（（a^2）+xpc）^2）（（xp-c）^2）+（（（a^2）+xpc）^2）（yp^2）

=>[（（（a^2）-xpc）^2）（（xp+c）^2）-（（（a^2）+xpc）^2）（（xp-c）^2）]=[（（（a^2）+xpc）^2）-（（（a^2）-xpc）^2）]（yp^2）

=>[（（a^2）-xpc）（xp+c）+（（a^2）+xpc）（xp-c）][（（a^2）-xpc）（xp+c）-（（a^2）+xpc）（xp-c）]=4xpc（ayp）^2

=>（2（a^2）xp-2（c^2）xp）（2c（a^2）-2c（xp^2））=4xpc（ayp）^2

=>4xpc（b^2）（（a^2）-（xp^2））=4xpc（ayp）^2

=>（b^2）（（a^2）-（xp^2））=（ayp）^2

=>（ab）^2=（（ayp）^2）+（（bxp）^2）

=>（（xp^2）/（a^2））+（（yp^2）/（b^2））=1等式成立，∠APF1=∠BPF2得證。

橢圓的面鏡（以橢圓的長軸為軸，把橢圓轉動180度形成的立體圖形，其內表面全部做成反射面，中空）可以將某個焦點發出的光線全部反射到另一個焦點處；橢圓的透鏡（某些截面為橢圓）有匯聚光線的作用（也叫凸透鏡），老花眼鏡、放大鏡和遠視眼鏡都是這種鏡片（這些光學性質可以通過反證法證明）。

（其中

分別是橢圓的長半軸、短半軸的長），或

（其中

分別是橢圓的長軸，短軸的長）。

證：

的面積，由於圖形的對稱性可知，只要求出第一象限的面積乘以4即可。

在第一象限

， 令

橢圓周長計算公式：L=T（r+R）

T為橢圓係數，可以由r/R的值，查表找出係數T值；r為橢圓短半徑；R為橢圓長半徑。

橢圓周長定理：橢圓的周長等於該橢圓短半徑與長半徑之和與該橢圓係數的積（包括正圓）。

附橢圓係數簡表：

關於橢圓的周長等於特定的正弦曲線在一個週期內的長度的證明：

半徑為r的圓柱上與一斜平面相交得到一橢圓，該斜平面與水平面的夾角為α，截取一個過橢圓短徑的圓。以該圓和橢圓的某一交點為起始轉過一個θ角。則橢圓上的點與圓上垂直對應的點的高度可以得到f（c）=r tanα sin（c/r）。

r：圓柱半徑；

α：橢圓所在面與水平面的角度；

c：對應的弧長（從某一個交點起往某一個方向移動）；

以上為證明簡要過程，則橢圓（x*cosα）^2+y^2=r^2的周長與f（c）=r tanα sin（c/r）的正弦曲線在一個週期內的長度是相等的，而一個週期T=2πr，正好為一個圓的周長。

橢圓離心率的定義為橢圓上焦距與長軸的比值，（範圍：0<X<1）。

e=c/a（0<e<1），因為2a>2c。離心率越大，橢圓越扁平；離心率越小，橢圓越接近於圓形。

橢圓的焦準距：橢圓的焦點與其相應準線（如焦點（c，0）與準線x=±a^2/c） 的距離為a^2/c-c=b^2/c

離心率與

的關係：

。

焦點在x軸上：|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex（F1，F2分別為左右焦點）。

橢圓過右焦點的半徑r=a-ex。

過左焦點的半徑r=a+ex。

焦點在y軸上：|PF1|=a+ey |PF2|=a-ey（F2，F1分別為上下焦點）。

橢圓的通徑：過焦點的垂直於x軸（或y軸）的直線與橢圓的兩交點A，B之間的距離，即|AB|=2*b^2/a。 ^[1] 

點M（x0，y0）橢圓 x^2/a^2+y^2/b^2=1；

點在圓內：x₀²/a²+y₀²/b²<1；

點在圓上：x₀²/a²+y₀²/b²=1；

點在圓外：x₀²/a²+y₀²/b²>1；

跟圓與直線的位置關係一樣的：相交、相離、相切。

y=kx+m ①

x²/a²+y²/b²=1 ②

由①②可推出x^2/a²+（kx+m）²/b²=1

相切△=0

相離△<0無交點

相交△>0 可利用弦長公式：設A（x₁，y₁） B（x₂，y₂）

求中點座標

根據韋達定理 x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a

代入直線方程可求出 （y₁+y₂）/2=可求出中點座標。

|AB|=d = √（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x1*x2] = √（1+1/k²）[（y₁+y₂）²-4y₁y₂]

例如：有一個圓柱，被截得到一個截面，下面證明它是一個橢圓（用上面的第一定義）：

將兩個半徑與圓柱半徑相等的半球從圓柱兩端向中間擠壓，它們碰到截面的時候停止，那麼會得到兩個公共點，顯然他們是截面與球的切點。

設兩點為F1、F2

對於截面上任意一點P，過P做圓柱的母線Q1、Q2，與球、圓柱相切的大圓分別交於Q1、Q2

則PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2

由定義1知：截面是一個橢圓，且以F1、F2為焦點

用同樣的方法，也可以證明圓錐的斜截面（不通過底面）為一個橢圓

例：已知橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的離心率為√6/3，短軸一個端點到右焦點的距離為√3.

1．求橢圓C的方程.

2．直線l：y=x+1與橢圓交於A，B兩點，P為橢圓上一點，求△PAB面積的最大值.

3．在⑵的基礎上求△AOB的面積.

一 分析短軸的端點到左右焦點的距離和為2a，端點到左右焦點的距離相等（橢圓的定義），可知a=√3，又c/a=√6/3，代入得c=√2，b=√（a^2-c^2）=1，方程是x^2/3+y^2/1=1，

二 要求面積，顯然以ab作為三角形的底邊，聯立x^2/3+y^2/1=1，y=x+1解得x1=0，y1=1，x2=-1.5，y2=-0.5.利用弦長公式有√（1+k^2））[x2-x1]（中括號表示絕對值）弦長=3√2/2，對於p點面積最大，它到弦的距離應最大，假設已經找到p到弦的距離最大，過p做弦的平行線，可以 發現這個平行線是橢圓的切線是才會最大，這個切線和絃平行故斜率和絃的斜率=，設y=x+m，利用判別式等於0，求得m=2，-2.結合圖形得m=-2.x=1.5，y=-0.5，p（1.5，-0.5），

三 直線方程x-y+1=0，利用點到直線的距離公式求得√2/2，面積1/2*√2/2*3√2/2=3/4， ^[2] 

（1）：畫長軸AB，短軸CD，AB和CD互垂平分於O點。

（2）：連接AC。

（3）：以O為圓心，OA為半徑作圓弧交OC延長線於E點。

（4）：以C為圓心，CE為半徑作圓弧與AC交於F點。

（5）：作AF的垂直平分線交CD延長線於G點，交AB於H點。

（6）：截取H，G對於O點的對稱點H’，G’ ⑺：H，H’為長軸圓心，分別以HA、H‘B為半徑作圓；G，G’為短軸圓心，分別以GC、G‘D為半徑作圓。

用一根線或者細銅絲，鉛筆，2個圖釘或大頭針畫橢圓的方法：先畫好長短軸的十字線，在長軸上以圓點為中心先找2個大於短軸半徑的點，一個點先用圖釘或者大頭針栓好線固定住，另一個點的線先不要固定，用筆帶住線去找長短軸的4個頂點，此步驟需要多次定位，直到都正好能於頂點吻合後固定住這2個點，用筆帶住線，直接畫出橢圓：）使用細銅絲最好，因為線的彈性較大畫出來不一定準確。

橢圓的焦距│FF'│（Z）定義，為已知橢圓所構成的長軸X（ab）與短軸Y（cd）則以長軸一端A為圓心短軸Y為半徑畫弧，從長軸另一段點B引出與弧相切的線段則為該橢圓焦距，求證公式為2√{（Z/2）^2+（Y/2）^2}+Z=X+Z（平面內與兩定點F、F'的距離的和等於常數2a（2a>|FF'|）的動點P的軌跡叫做橢圓），可演變為z=√x^2-y^2（x>y>0）。Z兩端點F、F'為定點。取有韌性且伸縮係數越小越好的線，環繞線段AF'或者FB線段任意一組為長度，以該長度為固定三角形周長，以F、F'　為定點、取構成該三角形上的第三點為動點畫弧則構成該橢圓。 ^[4] 

環線長

。根據橢圓的圖形特徵，採用環線表示動點與焦點間的距離關係，形成統一的圓形環線作圖法。具體方法簡介：

（1）作圖工具為筆、大頭針、直尺和環形線。（環形線製作：取一段長度（30—50cm）和粗細適中彈性小的軟線、一段8mm長細電線空塑料管，軟線從塑料管中相向竄過，塑料管將軟線夾緊，但用力可以抽動，形成能收縮和放長的環形線）。

（2）在作圖平面上作出各種圓形的定點和動點。

（3）將大頭針分別直立、固定在定點上；

（4）將符合長度的環形線套在大頭針外，畫筆由內向外拉直環線，通過調整環線的長度使筆尖剛好落在動點上；

（5）將畫筆移動一週，即可作出各種圓的圖形。

環線作圖方法的最大特點，就是把圓形的動點與焦點間的距離關係以環線的方式聯繫起來，而不受焦點數目的影響，環線內可以容納任意焦點數目，為探討3個及其3個以上焦點數目的多焦點圓提供有效方法。環線作圖方法，屬於連續移動作圖法，適合不同大小的圓、橢圓和卵圓等作圖。

若用該方法畫規定半長軸a和半短軸b的橢圓，則

，環線長