龐加萊猜想

1904年，法國數學家亨利·龐加萊提出了一個拓撲學的猜想：

“任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚於一個三維的球面。”

簡單的説，一個閉的三維流形就是一個有邊界的三維空間；單連通就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續的收縮成一點，或者説在一個封閉的三維空間，假如每條封閉的曲線都能收縮成一點，這個空間就一定是一個三維球面 ^[1]  。

後來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。

參見：亨利·龐加萊

亨利·龐加萊(Henri Poincaré)，法國數學家、天體力學家、數學物理學家、科學哲學家。1854年4月29日生於法國南錫，1912年7月17日卒於巴黎。他的成就不在於他解決了多少問題，而在於他曾經提出過許多具有開創意義、奠基性的大問題。龐加萊猜想，只是其中的一個。

一位數學史家曾經如此形容1854年出生的亨利·龐加萊（Henri Poincare）：“有些人彷彿生下來就是為了證明天才的存在似的，每次看到亨利，我就會聽見這個惱人的聲音在我耳邊響起。”

提出這個猜想後，龐加萊一度認為自己已經證明了它。但沒過多久，證明中的錯誤就被暴露了出來。於是，拓撲學家們開始了證明它的努力。

20世紀30年代以前，龐加萊猜想的研究只有零星幾項。但突然，英國數學家懷特海（Whitehead）對這個問題產生了濃厚興趣。他一度聲稱自己完成了證明，但不久就撤回了論文。但是失之東隅、收之桑榆，在這個過程中，他發現了三維流形的一些有趣的特例，這些特例被稱為懷特海流形。

30年代到60年代之間，又有一些著名的數學家宣稱自己解決了龐加萊猜想，著名的賓（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊澤（Moise）和帕帕奇拉克普羅斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。

帕帕奇拉克普羅斯是1964年的維布倫獎得主，一名希臘數學家。因為他的名字超長超難念，大家都稱呼他“帕帕”（Papa）。在1948年以前，帕帕一直與數學圈保持一定的距離，直到被普林斯頓大學邀請做客。帕帕以證明了著名的“迪恩引理”（Dehn's Lemma）而聞名於世，喜好舞文弄墨的數學家約翰·米爾諾（John Milnor）曾經為此寫下一段打油詩：

“無情無義的迪恩引理，

每一個拓撲學家的天敵。

直到帕帕奇拉克普羅斯，

居然證明得毫不費力。”

然而，這位聰明的希臘拓撲學家，卻最終倒在了龐加萊猜想的證明上。在普林斯頓大學流傳着一個故事。直到1976年去世前，帕帕仍在試圖證明龐加萊猜想，臨終之時，他把一疊厚厚的手稿交給了一位數學家朋友，然而，只是翻了幾頁，那位數學家就發現了錯誤，但為了讓帕帕安靜地離去，最後選擇了隱忍不言。

這一時期拓撲學家對龐加萊猜想的研究，雖然沒能產生他們所期待的結果，但是，卻因此發展出了低維拓撲學這門學科。一次又一次嘗試的失敗，使得龐加萊猜想成為出了名難證的數學問題之一。然而，因為它是幾何拓撲研究的基礎，數學家們又不能將其撂在一旁。這時，事情出現了轉機。

斯梅爾（Smale）在60年代初想到了一個天才的主意：如果三維的龐加萊猜想難以解決，高維的會不會容易些呢？

1960年到1961年，在里約熱內盧的海濱，經常可以看到一個人，手持草稿紙和鉛筆，對着大海思考。他，就是斯梅爾。

1961年的夏天，在基輔的非線性振動會議上，斯梅爾公佈了自己對龐加萊猜想的五維空間和五維以上的證明，立時引起轟動。 斯梅爾由此獲得1966年菲爾茲獎。

1983年，美國數學家福裏德曼（Freedman）將證明又向前推動了一步。在唐納森工作的基礎上，他證出了四維空間中的龐加萊猜想，並因此獲得菲爾茨獎。但是，再向前推進的工作，又停滯了。

拓撲學的方法研究三維龐加萊猜想沒有進展，有人開始想到了其他的工具。瑟斯頓（Thruston）就是其中之一。他引入了幾何結構的方法對三維流形進行切割，並因此獲得了1983年的菲爾茨獎。

“就像費馬大定理，當谷山志村猜想被證明後，儘管人們還看不到具體的前景，但所有的人心中都有數了。因為，一個可以解決問題的工具出現了。”清華大學數學系主任文志英説。

理查德·漢密爾頓，生於1943年，比丘成桐大6歲。雖然在開玩笑的時候，丘成桐會戲謔地稱這位有30多年交情、喜歡衝浪、旅遊和交女朋友的老友“Playboy”，但提起他的數學成就，卻只有稱讚和惺惺相惜。

1972年，丘成桐和李偉光合作，發展出了一套用非線性微分方程的方法研究幾何結構的理論。丘成桐用這種方法證明了卡拉比猜想，並因此獲得菲爾茨獎。1979年，在康奈爾大學的一個討論班上，當時是斯坦福大學數學系教授的丘成桐見到了漢密爾頓。“那時候，漢密爾頓剛剛在做Ricci流，別人都不曉得，跟我説起。我覺得這個東西不太容易做。沒想到，1980年，他就做出了第一個重要的結果。”丘成桐説，“於是我跟他講，可以用這個結果來證明龐加萊猜想，以及三維空間的大問題。”

Ricci流是以意大利數學家裏奇（Gregorio Ricci）命名的一個方程。用它可以完成一系列的拓撲手術，構造幾何結構，把不規則的流形變成規則的流形，從而解決三維的龐加萊猜想。看到這個方程的重要性後，丘成桐立即讓跟隨自己的幾個學生跟着漢密爾頓研究Ricci流。

在使用Ricci流進行空間變換時，到後來，總會出現無法控制走向的點。這些點，叫做奇點。如何掌握它們的動向，是證明三維龐加萊猜想的關鍵。在借鑑了丘成桐和李偉光在非線性微分方程上的工作後，1993年，漢密爾頓發表了一篇關於理解奇點的重要論文。便在此時，丘成桐隱隱感覺到，解決龐加萊猜想的那一刻，就要到來了。

2000年5月24日，美國克雷數學研究所（Clay Mathematical Institute）的科學顧問委員會把龐加萊猜想列為七個“千禧年大獎難題”之一。另外六個分別是：P對NP問題， 霍奇猜想， 黎曼假設，楊－米爾斯理論存在性與質量缺口，納維-斯托克斯方程存在性與光滑性，BSD猜想。

這七道問題被研究所認為是“重要的經典問題，經許多年仍未解決。”克雷數學研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎基金，每個問題的解決都可獲得百萬美元的獎勵。

格里戈裏·佩雷爾曼在花了8年時間研究這個足有一個世紀的數學難題後，在2002年11月和2003年7月之間，將3份關鍵論文的手稿粘貼到arXiv.org這個專門刊登數學和物理預印本論文的網站上，並用電郵通知了幾位數學家，聲稱自己證明了幾何化猜想。

到2005年10月，數位專家宣佈驗證了該證明，一致的贊成意見幾乎已經達成。“如果有人對我解決這個問題的方法感興趣，都在那兒呢—讓他們去看吧。”佩雷爾曼説，“我已經發表了我所有的算法，我能提供給公眾的就是這些了。”

佩雷爾曼的做法讓克雷數學研究所大傷腦筋。因為按照這個研究所的規矩，宣稱破解了猜想的人需在正規雜誌上發表並得到專家的認可後，才能獲得100萬美元的獎金。顯然，佩雷爾曼並不想把這100萬美金補充到他那微薄的收入中去。

2006年，在佩雷爾曼公佈他的3篇文章中的第一篇之後近4年，專家們終於達成了共識：佩雷爾曼解決了這個學科最令人肅然起敬的問題之一。但是猜想的解決卻觸發了一場風波。

2003年春天，丘成桐召集中山大學的朱熹平 ^[2]  和他的一個學生，裏海大學的曹懷東，承擔解釋佩雷爾曼的證明的工作。丘還安排朱在2005-06學年訪問哈佛大學，在一個討論班上講解佩雷爾曼的證明並繼續與曹一起寫他們的文章。

2006年4月13日，《亞洲數學雜誌》編委會的31位數學家收到丘成桐和另一位共同主編的電子郵件，通知他們在3天內對丘打算在雜誌上發表的朱熹平和曹懷東的一篇文章發表意見，題目是“瑞奇流的哈密爾頓-佩雷爾曼理論:龐加萊和幾何化猜想”。電子郵件沒有包含這篇文章，評審報告或者摘要。至少一位編委要求看這篇文章，卻被告知無法得到。4月16日曹收到了丘的郵件告訴他文章已被接受，摘要已在雜誌的網站公佈。一個多月後，朱和曹的文章的題目在《亞洲數學雜誌》的網頁上被改成“龐加萊和幾何化猜想的一個完整證明：瑞奇流的哈密爾頓-佩雷爾曼理論的應用”。摘要也被修改了，新加的一句話説，“這一證明應看作為瑞奇流的哈密爾頓-佩雷爾曼理論的最高成就”。

其他的一些數學家不同意朱和曹對於龐加萊猜想做出重要新貢獻的説法。紐約州立大學石溪分校的幾何學家約翰・摩根（John Morgan）説：“佩雷爾曼已經做了證明，這個證明是完整和正確的。我看不出他們做了什麼不同的事情。”2006年8月21日出版的《紐約客》雜誌刊發了一則關於龐加萊猜想的長篇報道。報道的第一作者是美國哥倫比亞大學新聞系教授娜莎(Sylvia Nasar)，曾經寫過《美麗心靈——納什傳》一書。娜莎通過一些數學家之口，將丘成桐描述為一個追名逐利之徒。紐約大學石溪分校數學系教授安德爾森（Michael Anderson）説，“丘成桐想要做幾何界的國王。他認為一切都應當出自於他。他不喜歡別人侵入他的領地”；麻省理工學院數學系教授斯德洛克(Dan Strook)説，“他做過輝煌的事情，也為此得到了輝煌的榮譽。他拿到了所有的獎。在這個問題上他好像也想撈—把，我感到這有點卑劣……”在文章所配發的漫畫中，丘成桐正試圖從佩雷爾曼胸前摘走菲爾茲獎獎章。

娜莎及其合作者在2006年國際數學家大會召開之前遠赴聖彼得堡，終於採訪到了佩雷爾曼。當被問到是否讀過曹和朱的論文時，佩雷爾曼回答説，“我不清楚他們作出了什麼新貢獻，顯然，朱不是非常理解我的推理，然後重新進行了論證。”

最後朱熹平和曹懷東自己都承認他們沒有任何新的貢獻。12月3日，曹懷東和朱熹平在數學家們公佈預印本的網站貼出一篇文章，題目是“龐加萊猜想與幾何化猜想的漢密爾頓–佩雷爾曼證明”。兩位作者在文章的引言中説：此文是對於他們在《亞洲數學雜誌》2006年第10卷第2期上發表的文章的修訂版。原來的文章的題目是“龐加萊與幾何化猜想的完整證明—瑞奇流的漢密爾頓–佩雷爾曼理論之應用”；而且在原來的摘要中稱他們“給出了龐加萊與幾何化猜想的完整證明”，這句話在新版本中被刪掉了。兩位作者特別指出：“我們改變了標題並對摘要作了修改是為了反映我們的觀點，即證明龐加萊猜想的全部功勞屬於漢密爾頓和佩雷爾。”

事實上，在這兩位作者宣佈他們對於龐加萊猜想的證明沒有功勞之前，丘成桐教授已經在國外説過他們的工作沒有原創性。也就是説丘成桐自己已經否定了他在6月初對中國媒體講的話。

另注：此事件中《紐約客》的採訪對象與採訪發佈後有多人表示娜莎及其合作者“歪曲事實”。包括理查德·漢密爾頓在內的多名數學家發表聲明表示文章沒有正確地反映他們對丘的評價。

紐約大學石溪分校數學系教授安德爾森（Michael Anderson）在事後的澄清信中明確表示：“我明確告訴過她（娜莎），當時我做出的評價不過是出於猜測，沒有事實根據。我從來沒有允許她這樣引用我的話”。

另一採訪對象麻省理工學院數學系教授斯德洛克(Dan Strook)更是在澄清信中表示娜莎及《紐約客》的歪曲報道“讓我，以及其他接受娜莎採訪的人震驚和憤怒”。

斯德洛克更進一步表示：”娜莎在6月參加了丘擔任大會主席的國際超弦大會後，設法讓我相信她對丘成桐非常崇拜，詢問我對於他的活動的看法。我告訴她，我很仰慕丘在支持中國年輕數學家，以及改變中國學術界的腐朽現狀所作的努力。我告訴她，有時候我覺得他的處事方法值得商榷。特別地，我告訴她，至少在我眼中，丘不注意保護自己，過於特立獨行，而把自己暴露在敵人面前。如同她文章中所寫的那樣，她有意歪曲我的陳述，並且不可原諒地加以杜撰。與大多數人一樣，丘也有自己的缺點；但是大多數人無法比擬的是，他的高尚品德遠遠超過他的缺點。不幸的是，娜莎用我的話來支持她的反面論證。為此我無法原諒她。”

如果你認為這個説法太抽象的話，我們不妨做這樣一個想象：

我們想象這樣一個房子，這個空間是一個球。或者，想象一隻巨大的足球，裏面充滿了氣，我們鑽到裏面看，這就是一個球形的房子。

我們不妨假設這個球形的房子牆壁是用鋼做的，非常結實，沒有窗户沒有門，我們在這樣的球形房子裏。拿一個氣球來，帶到這個球形的房子裏。隨便什麼氣球都可以（其實對這個氣球是有要求的）。這個氣球並不是癟的，而是已經吹成某一個形狀，什麼形狀都可以（對形狀也有一定要求）。但是這個氣球，我們還可以繼續吹大它，而且假設氣球的皮特別結實，肯定不會被吹破。還要假設，這個氣球的皮是無限薄的。

好，接着我們繼續吹大這個氣球，一直吹。吹到最後會怎麼樣呢？龐加萊先生猜想，吹到最後，一定是氣球表面和整個球形房子的牆壁表面緊緊地貼住，中間沒有縫隙。

我們還可以換一種方法想想：如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們説，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。

看起來這是不是很容易想清楚？但數學可不是“隨便想想”就能證明一個猜想的，這需要嚴密的數學推理和邏輯推理。一個多世紀以來，無數的科學家為了證明它，絞盡腦汁甚至傾其一生還是無果而終。

對於佩雷爾曼，人們知之甚少。這位偉大的數學天才，出生於1966年6月13日，他的天分使他很早就開始專攻高等數學和物理。16歲時，他以優異的成績在1982年舉行的國際數學奧林匹克競賽中摘得金牌。此外，他還是一名天才的小提琴家，桌球打得也不錯。

從聖彼得堡大學獲得博士學位後，佩雷爾曼一直在俄羅斯科學院聖彼得堡斯捷克洛夫數學研究所工作。20世紀80年代末期，他曾到美國多所大學做博士後研究。之後在斯捷克洛夫數學研究所，繼續他的宇宙形狀證明工作。

證明龐加萊猜想關鍵作用讓佩雷爾曼很快曝光於公眾視野，但他似乎並不喜歡與媒體打交道。據説，有記者想給他拍照，被他大聲制止；而對像《自然》《科學》這樣聲名顯赫雜誌的採訪，他也不屑一顧。

“我認為我所説的任何事情都不可能引起公眾的一絲一毫的興趣。”佩雷爾曼説，“我不願意説是因為我很看重自己的隱私，或者説我就是想隱瞞我做的任何事情。這裏沒有頂級機密，我只不過認為公眾對我沒有興趣。”他堅持自己不值得如此的關注，並表示對飛來的橫財沒有絲毫的興趣。

2003年，在發表了他的研究成果後不久，這位頗有隱者風範的大鬍子學者就從人們的視野中消失了。據説他和母親、妹妹一起住在聖彼得堡市郊的一所小房子裏，而且這個猶太人家庭很少對外開放。

國際數學家聯盟主席John Ball曾秘密拜訪佩雷爾曼，他的唯一目的是説服佩雷爾曼接受將在8月份國際數學家大會上頒發的菲爾茲獎。誰都知道這是數學界的最高榮譽，此前共有44位數學家獲此殊榮，沒有人拒絕過接受這個榮譽。然而面對Ball教授兩天共十個小時的勸説，佩雷爾曼的回答只是“我拒絕。”他解釋説：“如果我的證明是正確的，這種方式的承認是不必要的。”

佩雷爾曼於1992年訪問美國，他的生活極為儉樸，只吃麪包，芝士和牛奶。在紐約大學他結識了年輕的中國數學家田剛，每星期他們一起開車去普林斯頓參加高等研究院的討論班。佩雷爾曼讀了哈密爾頓關於瑞奇流的文章，還在高等研究院聽了他給的一個報告。佩雷爾曼説：“你不用是大數學家也可以看出這對幾何化會有用。”

1993年佩雷爾曼開始在伯克萊進行為期兩年的訪問，適逢哈密爾頓來校作系列演講。一次報告後，哈密爾頓告訴佩雷爾曼他所遇到的最大的一些障礙，其中之一是叫做“雪茄”的一類奇點。佩雷爾曼意識到，他寫的一篇沒有發表的文章可能對解決這個問題有用，問哈密爾頓是否知道這篇文章。但哈密爾頓似乎沒有了解這篇文章的重要。

1994年，佩雷爾曼因寫出了幾篇非常有原創性的論文而被邀請在國際數學家大會作報告。好幾家大學，包括斯坦福和普林斯頓，邀請他去申請職位。但是他拒絕了一些學校提供的職位，於1995年夏天回到聖彼得堡。他説：“我意識到我在俄國會工作得更好。”斯坦福的Eliashberg 説他回俄國是為了解決龐加萊猜想，佩雷爾曼對這種説法沒有表示反對。

在俄國他獨自工作，只通過英特網蒐集他所需要的知識。Gromov,一位曾與佩雷爾曼合作過的著名幾何學家説：“他不需要任何幫助，喜歡一個人工作。他使我想起牛頓，着迷於自己的想法，不去理睬別人的意見。”

1995年，佩雷爾曼發表了一篇文章，其中描述了他對於完成龐加萊猜想的證明的一些想法。哈密爾頓對我們説，從這篇文章中“我看不出他在1992年之後有任何進展。可能更早些時候他就被卡在哪兒了。”然而佩雷爾曼卻認為自己看到了解決問題的道路。

1996年，他給哈密爾頓寫了一封長信，描述了他的想法，寄希望於哈密爾頓會同他合作。但是，佩雷爾曼説，“他沒有回答。所以我決定自己幹。”

2002年11月11日，佩雷爾曼在網絡數學文庫arXiv ^[3]  上張貼了他的第一篇文章，之後他通過電子郵件把文章摘要發送給在美國的一些數學家，包括哈密爾頓，田剛和丘成桐。之前他沒有同任何人討論過這篇文章，因為“我不想同我不信任的人討論我的工作。”對於隨意地在網上發表如此重要的問題的解答可能帶來的風險，例如證明或有紕漏而使他蒙羞，甚至被他人糾正而失去成果的優先權，佩雷爾曼表示：“如果我錯了而有人利用我的工作給出正確的證明，我會很高興。我從來沒有想成為龐加萊猜想的唯一破解者。”田剛在MIT收到了佩雷爾曼的電子郵件，立即意識到其重要性。他開始閲讀並同他的同事們討論這篇文章。

2002年11月19日，幾何學家Kapovitch在電子郵件中詢問佩雷爾曼：“我是否理解正確：你在哈密爾頓的綱要中已經可以做足夠多的步驟使你能解決幾何化猜想？”佩雷爾曼第二天的回答只有一句話：“這是正確的。”

田剛寫信給佩雷爾曼邀請他到MIT作演講。普林斯頓和石溪分校的同事們也發出類似邀請。佩雷爾曼全部接受了，並於2003年4月開始在美國做巡迴演講。數學家們和新聞界都把這看作一件大事。使他感到失望的是，哈密爾頓沒有參加這些報告會。

佩雷爾曼告訴我們，“我是哈密爾頓的門徒，雖然還沒有得到他的認可。”當哥倫比亞大學的John Morgan邀請他去演講時他同意了，因為他希望在那裏能見到哈密爾頓。演講會在一個星期天早上舉行，哈密爾頓遲到了，並且在會後的討論和午餐中沒有提任何問題。“我的印象是他只讀了我的文章的第一部分。”佩雷爾曼説。

到2003年的7月，佩雷爾曼已經在網上公佈了他的後兩篇文章。數學家們開始對他的證明艱苦地進行檢驗和説明。在美國至少有兩組專家承擔了這一任務：田剛（丘成桐的對手）和Morgan；還有密西根大學的兩位專家。克萊研究所對他們都給與資助，並計劃把田和Morgan的工作以書的形式出版。這本書除了為數學家們提供佩雷爾曼的證明的邏輯外，還是佩雷爾曼能夠獲得克萊研究所一百萬美元獎金的依據。

2004年9月10日，在佩雷爾曼回到聖彼得堡一年多後，他收到田剛發來的一封很長的電子郵件，田在其中寫道：“我想我們已經理解了你的文章，它完全正確。”佩雷爾曼沒有回信。他向我們解釋，“人們需要時間去適應這個有名的問題不再是猜想這樣一個事實......重要的是我不去影響這個過程。”

朱熹平與曹懷東到達聖彼得堡後經歷了一番曲折才見到佩雷爾曼。佩雷爾曼反覆説他已經退出了數學界，不再認為自己是職業數學家了。

他提到多年前他同一位合作者就如何評價某個作者的一項工作所發生的爭執。他説他對於學界鬆懈的道德規範感到非常沮喪。“不是那些違背道德標準的人被看作異類，”他説，“而是象我這樣的人被孤立起來。”當被問及他是否看過曹和朱的文章時，他回答“我不清楚他們做了什麼新貢獻。顯然朱沒有十分明白那些推理而又重新做了一遍。”至於丘成桐，佩雷爾曼説，“我不能説我被侵犯了。還有人做得比這更糟。當然，許多數學家多少是誠實的，可他們幾乎都是和事佬。他們容忍那些不誠實的人。”獲得菲爾茲獎的前景迫使他同他的職業徹底決裂。“只要我不出名，我還有選擇的餘地，”佩雷爾曼解釋説，“或者做一些醜事，”-----對於數學界缺乏正義感大驚小怪-----“或者不這樣做而被當作寵物。現在，我變得非常有名了，我不能再做寵物而不説話。這就是為什麼我要退出。”

當被問及，他拒絕了菲爾茲獎，退出了數學界，是否意味着他排除了影響數學界的任何可能性時，他生氣地回答“我不是搞政治的。”佩雷爾曼不願回答他是否也會拒絕克萊研究所的百萬美元獎金的問題。“在頒發獎金之前我不作決定，”他説。Gromov説他能理解佩雷爾曼的邏輯。“你要做偉大的工作就必須有一顆純潔的心。你只能想數學。其他一切都屬於人類的弱點。”儘管人們會把他拒絕接受菲爾茲獎視為一種傲慢，Gromov説，他的原則值得欽佩。“理想的科學家除科學之外不關心其他的事情。他希望生活在那樣理想的境界。雖然他做不到，但他希望那樣。”

2010年7月，俄羅斯數學家格里戈裏·佩雷爾曼拒絕了克萊數學研究所獎勵他的100萬美元，這筆獎金是獎勵他對龐加萊猜想的證明。