千禧年大獎難題

儘管計算機極大地提高了人類的計算能力，仍有各種複雜的組合類或其他問題隨規模的增大其複雜度也快速增大，通常我們認為計算機可以解決的問題只限於多項式時間內，即所需時間最多是問題規模的多項式函數。

有大量的問題，可以在確定型圖靈機上用多項式時間求解；還有一些問題，雖然暫時沒有能在確定型圖靈機上用多項式時間求解的算法，但對於給定的可疑解可以在多項式時間內驗證，那麼，後者能否歸併到前者內呢？

設想在一個週六的晚上，你參加了一個盛大的晚會。由於感到侷促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經認識的人。宴會的主人向你提議説，你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鐘，你就能向那裏掃視，並且發現宴會的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認識的人。生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多。這是這種一般現象的一個例子。與此類似的是，如果某人告訴你，數13717421可以寫成兩個較小的數的乘積，你可能不知道是否應該相信他，但是如果他告訴你他可以因子分解為3607乘上3803，那麼你就可以用一個袖珍計算器輕易地驗證這是對的。

更經典的例子是流動推銷員問題，假設你要去3個城市去推銷，要使走過的路程最短，需要對這3個城市進行排序。很簡單，這一共有6種路線，對比一下就可以找到最短的路線了。但很明顯只有3個城市不現實，假設10個城市呢，這一共有10！=3628800種路線！假設你要算出每一條路線的長度，而計算一條路線花費1分鐘，如果每天工作8小時，中間不休息，一星期工作5天，一年工作52個星期，這將要花費20多年！顯然，這類計算會使用計算機。但由於階乘數增長太快，連最先進的計算機也不堪重負。 ^[1] 

P是否等於NP的問題，即能用多項式時間驗證解的問題是否能在多項式時間內找出解，是計算機與算法方面的重大問題，它是斯蒂文·考克（StephenCook）於1971年陳述的。

二十世紀的數學家們發現了研究複雜對象的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導致一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。霍奇猜想斷言，對於所謂射影代數簇這種特別完美的空間類型來説，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的（有理線性）組合。

如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們説，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面（四維空間中與原點有單位距離的點的全體）的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數學家們就在為此奮鬥。

俄羅斯數學家佩雷爾曼最終解決了三維龐加萊猜想。Clay數學研究所在2010年為此召開特別會議，為此猜想蓋棺定論。

有些數具有不能表示為兩個更小的整數的乘積的特殊性質，例如，2,3,5,7，等等。這樣的數稱為素數；它們在純數學及其應用中都起着重要作用。在所有自然數中，這種素數的分佈並不遵循任何有規則的模式；然而，德國數學家黎曼（1826~1866）觀察到，素數的頻率緊密相關於一個精心構造的所謂黎曼zeta函數ζ（s）的性態。著名的黎曼假設斷言，方程ζ（s)=0的所有有意義的解都在一條直線z=1/2+ib上，其中b為實數，這條直線通常稱為臨界線。這點已經對於開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對於每一個有意義的解都成立將為圍繞素數分佈的許多奧秘帶來光明，弗里曼·戴森(Freeman Dyson)在《數學世紀-過去100年間30個重大問題》的前言裏寫道他鐘愛的培根式的夢想，尋找一維擬晶理論以及黎曼ζ函數之間的可能聯繫。如果黎曼假設成立，則在臨界線上的ζ函數的零點按照定義是一個擬晶。假如假設成立，ζ函數的零點具有一個傅里葉變換，它由在所有素數冪的對數處的質點構成，而不含別處的質點。這就提供了證明黎曼假設的一個可能方法。 ^[2] 

法國數學家孔涅從美國數學家蒙哥馬利(Montgomery)描述臨界線上ζ函數零點之間間距的公式中得到啓發，用量子物理學的思想證明黎曼假設。他寫出一組方程，規定一個假設的量子混沌系統，把所有的素數作為它的組成部分。他還證明，這個系統有着對應於臨界線上所有ζ函數零點的能級。如果能證明這些與能級對應的零點外沒有其他零點，也就證明了黎曼假設。 ^[1] 

主條目：楊－米爾斯存在性和質量間隔（規範場理論)

量子物理的定律是以經典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人注目的關係。基於楊－米爾斯方程的預言已經在如下的全世界範圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。儘管如此，他們的既描述重粒子、又在數學上嚴格的方程沒有已知的解。特別是，被大多數物理學家所確認、並且在他們的對於“夸克”的不可見性的解釋中應用的“質量間隔”（mass gap）假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。

主條目：navier stokes（納維葉-斯托克斯存在性與光滑性）

起伏的波浪跟隨着我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨着我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解納維葉－斯托克斯方程的解，來對它們進行解釋和預言。雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰在於對數學理論作出實質性的進展，使我們能解開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。

主條目：BSD猜想（貝赫和斯維訥通-戴爾猜想）

數學家總是被諸如

那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題着迷。歐幾里德曾經對這一方程給出完全的解答，但是對於更為複雜的方程，這就變得極為困難。事實上，正如馬蒂雅謝維奇（Yu.V.Matiyasevich）指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方法是否有一個整數解。當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認為，有理點的羣的大小與一個有關的蔡塔函數z(s）在點s=1附近的性態。特別是，這個有趣的猜想認為，如果z(1)等於0，那麼存在無限多個有理點（解），相反，如果z⑴不等於0，那麼只存在有限多個這樣的點。