流形

n維流形的概念，在J.L.Lagrange的力學中已經初見端倪，十九世紀中期，已經知道n維Euclid空間是n個實變量的連續統，但是一般n維流形的概念是B.Riemann研究微分幾何學時引進的，他是用歸納法進行構造的。正如曲線的運動形成曲面一樣，n維流形是把無限多個（n-1）維流形按照一維流形方式放在一起而形成的。流形的拓撲結構的研究與其局部理論的研究是同時開始的，Riemann、E.Betti、H.Poincaré等人應用的是解析方法，但是，Poincaré為了擺脱這種方法的困難與不利之處，將n維流形定義為一種連通的拓撲空間，其中每一點都具有和n維Euclid空間同胚的鄰域，並對之進行研究，從而開闢了組合拓撲學的道路。

在n維歐幾里得空間

中，由

定義的半空間用

表示。豪斯多夫空間M，當每點p具有與

或

同胚的開鄰域U(p)時，稱為n維拓撲流形。U(p)≈

（同胚）的點p的全體∂M稱為流形M的邊緣，其補集

稱為M的內部，∂M=Φ的流形稱為無邊緣流形。

n維流形M的邊緣∂M是n-1維無邊緣流形。緊的無邊緣的連通流形稱為閉流形，非緊的無邊緣的連通流形稱為開流形。存在連通的但非仿緊的拓撲流形。一維的這種流形稱為長直線。 ^[1] 

圓周是除歐氏空間外最簡單的流形。讓我們考慮二維平面內一個半徑為1，圓心在原點的圓（單位圓）。若x和y是平面上的歐式座標，那麼單位圓的方程就是

。

單位圓的任意一點附近的一小段都像一條線。而線是一維的圖形，我們只要一個座標就可以標記這一小段上的一個點。例如單位圓在x軸上方的半圓上的任何一點都可以用x座標確定。所以，存在雙射X_top，它通過簡單的投影到第一個座標(x)將圓的黃色部分映射到開區間(−1, 1)：

。

這樣的一個函數稱為一個局部座標卡（local coordinate chart）。類似的，單位圓的下半圓，左半圓，右半圓上也有相應的座標卡。這四個半圓可以覆蓋整個單位圓，我們稱對應的四個局部座標卡組成這個單位圓的一個座標圖集（atlas）。

注意上部和右部的座標卡的重疊部分。它們的交集位於圓上x和y座標都是正的四分之一弧上。兩個圖χ_top 和χ_right 將這部分雙射到區間(0, 1)。這樣我們有個函數T 從(0, 1)到它自己，首先取黃色圖的逆到達圓上再通過綠圖回到該區間:

。

這樣的函數稱為變換映射（座標變換）。

從微積分的觀點來看，圓的變換函數T只是開區間之間的函數，所以我們知道它意味着T是可微的。事實上，T在(0, 1)可微而且對於其他變換函數也是一樣。所以，這個圖集把圓圈變成可微流形。

上面這四個座標卡和它們之間的座標變換説明單位圓是一個流形。但在單位圓上還可以有其他的座標卡和座標圖集。考慮座標卡

和

。這裏s是穿過座標為(x,y)的可變點和固定的中心點(−1,0)的線的斜率；t是鏡像對稱，其中心點為(1,0)。s到(x,y)的逆映射為

。

我們很容易確認

對於所有斜率值s成立。這兩個座標卡提供了圓周的又一個圖集，其變換函數為

。

注意每個座標卡都缺了一點，對於s是(−1,0)，對於t是(+1,0)，所以每個座標卡不能獨自覆蓋整個單位圓。利用拓撲學的工具，我們可以證明沒有單個的座標卡可以覆蓋整個單位圓；在這個簡單的例子裏，我們已經需要用到流形可以擁有多個座標圖的靈活性。

流形不必是連通的（整個只有一片），所以兩個不相交的圓周也是一個拓撲流形。流形不必是閉的，所以不帶兩個端點的線段也是流形。流形也不必有限，所以拋物線這樣的圖形也是一個拓撲流形。

但是，我們排除了向兩個相切的圓（它們共享一點並形成8字形）的例子；切點的附近任意小的一部分都不同胚於歐式空間的任何一個開集。 ^[2] 

拓撲流形：拓撲流形為最容易定義的流形，它局部看起來象一些“普通”的歐氏空間

。形式化的講，一個拓撲流形是一個局部同胚於一個歐氏空間（或上半歐式空間）的拓撲空間。這表示每個點有一個鄰域，它有一個同胚(連續雙射其逆也連續)將它映射到

（

）。這些同胚是流形的座標圖。

微分流形：微分流形也稱為光滑流形，是拓撲學和幾何學中一類重要的空間，是帶有微分結構的拓撲流形。 微分流形是微分幾何與微分拓撲的主要研究對象，是三維歐式空間中曲線和曲面概念的推廣，可以有更高的維數，而不必有距離和度量的概念。