數學難題

費爾馬大定理

費爾馬大定理起源於三百多年前，挑戰人類3個世紀，多次震驚全世界，耗盡人類眾多最傑出大腦的精力，也讓千千萬萬業餘者痴迷。終於在1994年被安德魯·懷爾斯攻克。

古希臘數學家丟番圖寫過一本著名的《算術》（Arithmetica），經歷中世紀的愚昧黑暗到文藝復興的時候，《算術》的殘本重新被發現研究。1637年，法國業餘大數學家費爾馬（Pierre de Fremat）在《算術》的關於勾股數問題的頁邊上，寫下猜想：xⁿ+ yⁿ =zⁿ 是不可能的（這裏n大於2；x，y，z，n都是非零整數）。此猜想後來就稱為費爾馬大定理。費爾馬還寫道“我對此有絕妙的證明，但此頁邊太窄寫不下”。一般公認，他當時不可能有正確的證明。猜想提出後，經歐拉等數代天才努力，200年間只解決了n=3,4,5,7四種情形。1847年，庫默爾創立“代數數論”這一現代重要學科。他還證明了當n﹤100時，除卻n=37、59、67這些不規則質數的情況，費爾馬大定理都成立，是一次大飛躍。

歷史上費爾馬大定理高潮迭起，傳奇不斷。其驚人的魅力，曾在最後時刻挽救自殺青年於不死。他就是德國的沃爾夫斯克勒，他於1908年為費爾馬大定理設懸賞10萬馬克（相當於現時的160萬美元多），期限1908－2007年。無數人耗盡心力，空留浩嘆。最現代的電腦加數學技巧，驗證了400萬以內的n，但這對最終證明無濟於事。1983年德國的法爾廷斯證明了：對任一固定的n，最多隻有有限多個x，y，z，振動了世界，獲得菲爾茲獎（數學界最高獎）。

歷史的新轉機發生在1986年夏，貝克萊·瑞波特證明了：費爾馬大定理包含在“谷山-志村猜想” 之中。童年就痴迷於此的懷爾斯，聞此立刻潛心於頂樓書房7年，曲折卓絕，彙集了20世紀數論所有的突破性成果。終於在1993年6月23日劍橋大學牛頓研究所的“世紀演講”最後，宣佈證明了費爾馬大定理。立刻震動世界，普天同慶。不幸的是，數月後逐漸發現此證明有漏洞，一時更成世界焦點。這個證明體系是千萬個深奧數學推理連接成千個最現代的定理、事實和計算所組成的千百迴轉的邏輯網絡，任何一環節的問題都會導致前功盡棄。懷爾斯絕境搏鬥，毫無出路。

1994年9月19日，星期一的早晨，懷爾斯在思維的閃電中突然找到了迷失的鑰匙：解答原來就在紙堆中！他熱淚奪眶而出。懷爾斯的歷史性長文“模橢圓曲線和費爾馬大定理”1995年5月發表在美國《數學年刊》第142卷，實際佔滿了全卷，共五章，130頁。1997年6月27日，懷爾斯獲得沃爾夫斯克勒10萬馬克懸賞大獎。離截止期10年，圓了歷史的夢。他還獲得沃爾夫獎（1996.3），美國國家科學院獎（1996.6），菲爾茲獎（1998.8）。

四色問題的內容是：“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家着上不同的顏色。”用數學語言表示，即“將平面任意地細分為不相重疊的區域，每一個區域總可以用1，2，3，4這四個數字之一來標記，而不會使相鄰的兩個區域得到相同的數字。”

這裏所指的相鄰區域，是指有一整段邊界是公共的。如果兩個區域只相遇於一點或有限多點，就不叫相鄰的。因為用相同的顏色給它們着色不會引起混淆。

四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業於倫敦大學的弗南西斯·格思裏來到一家科研單位搞地圖着色工作時，發現了一種有趣的現象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色着色，使得有共同邊界的國家都被着上不同的顏色。”這個現象能不能從數學上加以嚴格證明呢？他和在大學讀書的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問題而使用的稿紙已經堆了一大疊，可是研究工作沒有進展。

1852年10月23日，他的弟弟就這個問題的證明請教了他的老師、著名數學家奧古斯都·德·摩根，摩根也沒有能找到解決這個問題的途徑，於是寫信向自己的好友、著名數學家威廉·哈密頓請教。哈密頓接到摩根的信後，對四色問題進行論證。但直到1865年哈密頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。

1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關注的問題。世界上許多的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。1878～1880年兩年間，著名的律師兼數學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣佈證明了四色定理，大家都認為四色猜想從此也就解決了。

肯普的證明是這樣的：首先指出如果沒有一個國家包圍其他國家，或沒有三個以上的國家相遇於一點，這種地圖就説是“正規的”。如為正規地圖，否則為非正規地圖。一張地圖往往是由正規地圖和非正規地圖聯繫在一起，但非正規地圖所需顏色種數一般不超過正規地圖所需的顏色，如果有一張需要五種顏色的地圖，那就是指它的正規地圖是五色的，要證明四色猜想成立，只要證明不存在一張正規五色地圖就足夠了。

肯普是用歸謬法來證明的，大意是如果有一張正規的五色地圖，就會存在一張國數最少的“極小正規五色地圖”，如果極小正規五色地圖中有一個國家的鄰國數少於六個，就會存在一張國數較少的正規地圖仍為五色的，這樣一來就不會有極小五色地圖的國數，也就不存在正規五色地圖了。這樣肯普就認為他已經證明了“四色問題”，但是後來人們發現他錯了。

不過肯普的證明闡明瞭兩個重要的概念，對以後問題的解決提供了途徑。第一個概念是“構形”。他證明了在每一張正規地圖中至少有一國具有兩個、三個、四個或五個鄰國，不存在每個國家都有六個或更多個鄰國的正規地圖，也就是説，由兩個鄰國，三個鄰國、四個或五個鄰國組成的一組“構形”是不可避免的，每張地圖至少含有這四種構形中的一個。

肯普提出的另一個概念是“可約”性。“可約”這個詞的使用是來自肯普的論證。他證明了只要五色地圖中有一國具有四個鄰國，就會有國數減少的五色地圖。自從引入“構形”，“可約”概念後，逐步發展了檢查構形以決定是否可約的一些標準方法，能夠尋求可約構形的不可避免組，是證明“四色問題”的重要依據。但要證明大的構形可約，需要檢查大量的細節，這是相當複雜的。

11年後，即1890年，在牛津大學就讀的年僅29歲的赫伍德以自己的精確計算指出了肯普在證明上的漏洞。他指出肯普説沒有極小五色地圖能有一國具有五個鄰國的理由有破綻。不久，泰勒的證明也被人們否定了。人們發現他們實際上證明了一個較弱的命題——五色定理。就是説對地圖着色，用五種顏色就夠了。後來，越來越多的數學家雖然對此絞盡腦汁，但一無所獲。於是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。

進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。1913年，美國著名數學家、哈佛大學的伯克霍夫利用肯普的想法，結合自己新的設想；證明了某些大的構形可約。後來美國數學家富蘭克林於1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色着色。1950年，有人從22國推進到35國。1960年，有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色着色；隨後又推進到了50國。看來這種推進仍然十分緩慢。

高速數字計算機的發明，促使更多數學家對“四色問題”的研究。從1936年就開始研究四色猜想的海克，公開宣稱四色猜想可用尋找可約圖形的不可避免組來證明。他的學生丟雷寫了一個計算程序，海克不僅能用這程序產生的數據來證明構形可約，而且描繪可約構形的方法是從改造地圖成為數學上稱為“對偶”形着手。

他把每個國家的首都標出來，然後把相鄰國家的首都用一條越過邊界的鐵路連接起來，除首都(稱為頂點)及鐵路(稱為弧或邊)外，擦掉其他所有的線，剩下的稱為原圖的對偶圖。到了六十年代後期，海克引進一個類似於在電網絡中移動電荷的方法來求構形的不可避免組。在海克的研究中第一次以頗不成熟的形式出現的“放電法”，這對以後關於不可避免組的研究是個關鍵，也是證明四色定理的中心要素。

電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的進程。美國伊利諾大學哈肯在1970年着手改進“放電過程”，後與阿佩爾合作編制一個很好的程序。就在1976年6月，他們在美國伊利諾斯大學的兩台不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終於完成了四色定理的證明，轟動了世界。

這是一百多年來吸引許多數學家與數學愛好者的大事，當兩位數學家將他們的研究成果發表的時候，當地的郵局在當天發出的所有郵件上都加蓋了“四色足夠”的特製郵戳，以慶祝這一難題獲得解決。

“四色問題”的被證明僅解決了一個歷時100多年的難題，而且成為數學史上一系列新思維的起點。在“四色問題”的研究過程中，不少新的數學理論隨之產生，也發展了很多數學計算技巧。如將地圖的着色問題化為圖論問題，豐富了圖論的內容。不僅如此，“四色問題”在有效地設計航空班機日程表，設計計算機的編碼程序上都起到了推動作用。

不過不少數學家並不滿足於計算機取得的成就，他們認為應該有一種更簡捷明快的書面證明方法。現仍然有不少數學家和數學愛好者還在尋找更簡潔的證明方法。

找到用數學理論的證明是人類研究“四色問題”的終極目標。

四色定理的理論證明，已有一個實例，其證明是用第二數學歸納法證明的。大意是：首先，驗證初始值1≤n≤15時四色定理成立；其次，設置歸納假設15≤n≤k時四色定理成立；再次，遞推n=k+1時四色定理成立。遞推時令Q為構形國，分為二構形、三構形、四構形、五構形等四類論證。

證明的理論基礎是，在肯普證明了“在每一張正規地圖中至少有一國具有兩個、三個、四個或五個鄰國，不存在每個國家都有六個或更多個鄰國的正規地圖。”的基礎上，提出並闡明瞭n構形（n取2、3、4、5）、構形國、正規地圖邊界、邊沿國等概念。依次採用構造法、反證法、第二數學歸納法等證明了關於五構形的三個引理，引理1：五構形的國家個數的集合W={12,14,15,…,n,…}；引理2：任意五構形中存在構形國不是邊沿國；引理3：在n≥15的五構形中，若包圍構形國Q的每個鄰國與Q只有一條共同邊界，Q的鄰國兩兩相鄰的組數是五，這五個鄰國中存在鄰國個數大於五的國家P，則四色定理成立。 ^[1] 

這個證明採用的是“區塊”換色，有別於當年肯普的“證明”採用的是“肯普鏈”換色。

史上和質數有關的數學猜想中，最著名的當然就是“哥德巴赫猜想”了。

1742年6月7日，德國數學家哥德巴赫在寫給著名數學家歐拉的一封信中，提出了兩個大膽的猜想：

一、任何不小於6的偶數，都是兩個奇質數之和；

二、任何不小於9的奇數，都是三個奇質數之和。

這就是數學史上著名的“哥德巴赫猜想”。顯然，第二個猜想是第一個猜想的必要不充分條件。通常把第一個猜想叫做強猜想，第二個叫做弱猜想。

同年6月30日，歐拉在給哥德巴赫的回信中， 明確表示他深信哥德巴赫的這兩個猜想都是正確的定理，但是歐拉當時還無法給出證明。由於歐拉是當時歐洲最偉大的數學家，他對哥德巴赫猜想的信心，影響到了整個歐洲乃至世界數學界。從那以後，許多數學家都躍躍欲試，甚至一生都致力於證明哥德巴赫猜想。可是直到19世紀末，哥德巴赫猜想的證明也沒有任何進展。證明哥德巴赫猜想的難度，遠遠超出了人們的想象。有的數學家把哥德巴赫猜想比喻為“數學王冠上的明珠”。

我們從6=3+3、8=3+5、10=5+5、……、100=3+97=11+89=17+83、……這些具體的例子中，可以看出哥德巴赫猜想都是成立的。有人甚至逐一驗證了3300萬以內的所有偶數，竟然沒有一個不符合哥德巴赫猜想的。20世紀，隨着計算機技術的發展，數學家們發現哥德巴赫猜想對於更大的數依然成立。可是自然數是無限的，誰知道會不會在某一個足夠大的偶數上，突然出現哥德巴赫猜想的反例呢？於是人們逐步改變了探究問題的方式。

1900年，20世紀最偉大的數學家希爾伯特，在國際數學會議上把“哥德巴赫猜想”列為23個數學難題之一。此後，20世紀的數學家們在世界範圍內“聯手”進攻“哥德巴赫猜想”堡壘，終於取得了輝煌的成果。

20世紀的數學家們研究哥德巴赫猜想所採用的主要方法，是篩法、圓法、密率法(density)和三角和法等等高深的數學方法。解決這個猜想的思路，就像“縮小包圍圈”一樣，逐步逼近最後的結果。

1920年，挪威數學家布朗證明了定理“9+9”，由此劃定了進攻“哥德巴赫猜想”的“大包圍圈”。這個“9+9”是怎麼回事呢？所謂“9+9”，翻譯成數學語言就是：“任何一個足夠大的偶數，都可以表示成其它兩個數之和，而這兩個數中的每個數，都是至多9個奇質數之積。” 從這個“9+9”開始，全世界的數學家集中力量“縮小包圍圈”，當然最後的目標就是“1+1”了。

1924年，德國數學家雷德馬赫證明了定理“7+7”。很快，“6+6”、“5+5”、“4+4”和“3+3”逐一被攻陷。1957年，我國數學家王元證明了“2+3”。1962年，中國數學家潘承洞證明了“1+5”，同年又和王元合作證明了“1+4”。1965年，蘇聯數學家證明了“1+3”。

1966年，我國著名數學家陳景潤攻克了“1+2”，也就是：“任何一個足夠大的偶數，都可以表示成兩個數之和，而這兩個數中的一個就是奇質數，另一個則是至多兩個奇質數的積。”這個定理被世界數學界稱為“陳氏定理”。

由於陳景潤的貢獻，人類距離哥德巴赫猜想的最後結果“1+1”僅有一步之遙了。但為了實現這最後的一步，也許還要歷經一個漫長的探索過程。有許多數學家認為，要想證明“1+1”，必須通過創造新的數學方法，以往的路很可能都是走不通的。

美國馬薩諸塞州的克雷數學研究所於2000年5月24日在巴黎法蘭西學院宣佈了一件被媒體炒得火熱的大事：對七個“千年數學難題”的每一個懸賞一百萬美元。

其中有一個已被解決(龐加萊猜想)，還剩六個。（龐加萊猜想，已由俄羅斯數學家格里戈裏·佩雷爾曼破解。我國中山大學朱熹平教授和旅美數學家、清華大學兼職教授曹懷東做了證明的封頂工作。）

整個計算機科學的大廈就建立在圖靈機可計算理論和計算複雜性理論的基礎上,

“千年大獎問題”公佈以來， 在世界數學界產生了強烈反響。這些問題都是關於數學基本理論的，但這些問題的解決將對數學理論的發展和應用的深化產生巨大推動。認識和研究“千年大獎問題”已成為世界數學界的熱點。不少國家的數學家正在組織聯合攻關。 可以預期， “千年大獎問題” 將會改變新世紀數學發展的歷史進程。

一、P（多項式時間）問題對NP（nondeterministic polynomial time，非確定多項式時間問題）

在一個週六的晚上，你參加了一個盛大的晚會。由於感到侷促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經認識的人。你的主人向你提議説，你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鐘，你就能向那裏掃視，並且發現你的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認識的人。生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多。這是這種一般現象的一個例子。與此類似的是，如果某人告訴你，數13，717，421可以寫成兩個較小的數的乘積，你可能不知道是否應該相信他，但是如果他告訴你它可以因式分解為3607乘上3803，那麼你就可以用一個袖珍計算器容易驗證這是對的。不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個答案是可以很快利用內部知識來驗證，還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解，被看作邏輯和計算機科學中最突出的問題之一。它是斯蒂文·考克於1971年陳述的。

一旦證明P=NP，將是計算機科學的一場決定性的突破，在軟件工程實踐中，將革命性的提高效率。從工業、農業、軍事、醫療到生活、以至軟件在它的各個應用域，都將是一個飛躍。

二十世紀的數學家們發現了研究複雜對象的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導致一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。霍奇猜想斷言，對於所謂射影代數簇這種特別的空間類型來説，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。

如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們説，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，法國數學家龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數學家們就在為此奮鬥。

在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數學家格里戈裏·佩雷爾曼在發表了三篇論文預印本，並聲稱證明了幾何化猜想。

在佩雷爾曼之後，先後有3組研究者發表論文補全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細節。這包括密歇根大學的布魯斯·克萊納和約翰·洛特；哥倫比亞大學的約翰·摩根和麻省理工學院的田剛；以及理海大學的曹懷東和中山大學的朱熹平。

2006年8月，第25屆國際數學家大會授予佩雷爾曼菲爾茲獎。數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。

有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質，例如，2、3、5、7……等等。這樣的數稱為素數；它們在純粹數學及應用數學中都起着重要作用。在所有自然數中，素數分佈似乎並不遵循任何有規則的模式；然而，德國數學家黎曼(1826~1866)觀察到，素數的頻率緊密相關於所謂的黎曼ζ函數。黎曼假設斷言，方程ζ(s)=0的非平凡零點的實部都是1/2，即位於直線1/2 + ti（“臨界線”，critical line）上。這點已經對於開首的1,500,000,000個解驗證過。證明它對於每一個有意義的解都成立，將為圍繞素數分佈的許多奧秘帶來光明。

參見：楊·米爾斯理論

量子物理的定律是以經典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前，楊振寧和羅伯特·米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人注目的關係。基於楊－米爾斯方程的預言已經在如下的全世界範圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。

儘管如此，他們的既描述重粒子、又在數學上嚴格的方程，並沒有已知的解。特別是，被大多數物理學家所確認、並且在他們的對於“夸克”的不可見性的解釋中應用的“質量缺口”假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。

六、納維-斯托克斯存在性與光滑性（Navier–Stokes existence and smoothness）

起伏的波浪跟隨着我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨着我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解納維-斯托克斯方程的解，來對它們進行解釋和預言。雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰在於對數學理論作出實質性的進展，使我們能解開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。

七、貝赫和斯維訥通－戴爾猜想（Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture）

數學家總是對諸如x²+y²=z²那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題着迷。歐幾里德曾經對這一方程給出完全的解答，但是對於更為複雜的方程，這就變得極為困難。事實上，正如馬蒂雅謝維奇指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方法是否有一個整數解。當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通-戴爾猜想認為，有理點的羣的大小與一個有關的蔡塔函數z(s)在點s=1附近的性態。特別是，這個有趣的猜想認為，如果z(1)等於0,那麼存在無限多個有理點(解)，相反，如果z(1)不等於0,那麼只存在有限多個這樣的點。

美國中央密蘇里大學數學家柯蒂斯·庫珀領導的研究小組通過參加一個名為“互聯網梅森素數大搜索”（GIMPS）的國際合作項目，於2013年1月25日發現了目前已知的最大素數——2^57885161-1 （即2的57885161次方減1）。該素數是第48個梅森素數，有17425170位；如果用普通字號將它連續打印下來，其長度可超過65公里！美國數學學會發言人邁克·布林宣稱：這是數論研究的一項重大突破。

研究小組在大約1000台大學裏的計算機上運行GIMPS的軟件，每台計算機都不間斷地用了39天時間證明2^57885161-1是個素數。之後其他研究者也獨立驗證了這一結果。

通過參加GIMPS項目，一共發現了14個梅森素數。 ^[2] 

尋找梅森素數已成為發現已知最大素數的最有效途徑。如今世界上有180多個國家和地區近28萬人參加了GIMPS項目，並動用超過79萬台計算機聯網來尋找新的梅森素數。梅森素數是否有無窮多個？這是一個尚未破解的著名數學謎題。

美國新罕布什爾大學數學家張益唐經過多年努力，在不依賴未經證明推論的前提下，率先證明了一個“弱孿生素數猜想”，即“存在無窮多個之差小於7000萬的素數對”。4月17日，他將論文投稿給世界頂級期刊《數學年刊》。美國數學家、審稿人之一亨裏克·艾温尼科評價説：“這是一流的數學工作。”他相信不久會有很多人把“7000萬”這個數字“變小”。

儘管從證明弱孿生素數猜想到證明孿生素數猜想還有相當的距離，英國《自然》雜誌在線報道還是稱張益唐的證明為一個“重要的里程碑”。由於孿生素數猜想與哥德巴赫猜想密切相關（姐妹問題），很多數學家希望通過解決這個猜想，進而攻克哥德巴赫猜想。

值得一提的是，英國數學家哈代和李特爾伍德曾提出一個“強孿生素數猜想”。這一猜想不僅提出孿生素數有無窮多對，而且還給出其漸近分佈形式。中國數學家周海中指出：要證明強孿生素數猜想，人們仍要面對許多巨大的困難。

2013年5月13日，秘魯數學家哈拉爾德·赫爾弗戈特在巴黎高等師範學院宣稱：證明了一個“弱哥德巴赫猜想”，即“任何一個大於7的奇數都能被表示成3個奇素數之和”。他將論文 ^[3-4]  投稿給全球最大的預印本網站（arXiv）；有專家認為這是哥德巴赫猜想研究的一項重大成果。不過，其證明是否成立，還有待進一步考證。

赫爾弗戈特在論證技術上主要使用了哈代-李特爾伍德-維諾格拉多夫圓法。在這一圓法中，數學家創建了一個週期函數，其範圍包括所有素數。1923年，哈代和李特爾伍德證明，假設廣義黎曼猜想成立，三元哥德巴赫猜想對充分大的奇數是正確的；1937年，蘇聯數學家維諾格拉多夫更進一步，在無須廣義黎曼猜想的情形下，直接證明了充分大的奇數可以表示為3個素數之和。

英國數學家安德魯·格蘭維爾稱，不幸的是，由於技術原因，赫爾弗戈特的方法很難證明“強哥德巴赫猜想”，即“關於偶數的哥德巴赫猜想”。如今數學界的主流意見認為：要證明強哥德巴赫猜想，還需要新的思路和工具，或者在現有的方法上進行重大的改進。 ^[5] 

除了上述著名數學難題外，還有以下著名數學難題有待破解。

考拉茲猜想

周氏猜測(梅森素數分佈猜測)

阿廷猜想(新梅森猜想)

克拉梅爾猜想

哈代－李特爾伍德第二猜想