素數分佈

大約在公元前300年，歐幾里得就證明了素數有無窮多個。設2,3,…,p是不大於p的所有素數，q=2*3*…*p+1。容易看出q不是2，3，…，p的倍數。由於q的最小正除數一定是素數，因此，或者q本身是一個素數，或者q可被p與q之間的某兩個素數所整除[比如：2*3*5*7*11*13+1=30031=59*509]。所以必有大於p的素數存在，由此即知素數有無窮多個。

素數在自然數中佔有極其重要的地位，但是它的變化非常不規則。最初的研究方法，是通過觀察素數表來發現素數分佈的性質。現有的較完善的素數表是D.B.扎蓋爾於1977年編制的，列出了不大於50000000的所有素數。從素數表可以看出：在1到100中間有25個素數，在1到1000中間有168個素數，在1000到2000中間有135個素數，在2000到3000中間有127個素數，在3000到4000中間有120個素數，在4000到5000中間有119個素數，在5000到10000中間有560個素數。

兩個差等於2的一對素數,稱為孿生素數。例如,3和5；5和7；11和13；17和19；29和31；41和43；59和61；71和73；101和103；…10016957和10016959；都是孿生素數。迄今所知的最大孿生素數是1159142985×2-1和1159142985×2+1；它們是A.O.L.阿特金和N.W.里克特於1979年得到的。

所謂孿生素數猜想，即存在無窮多對孿生素數。這個猜想至今沒有解決，但認為它是正確的可能性很大。

2^P-1型的數稱為梅森數，並以Mp記之；而 2^P-1型的素數稱為梅森素數。這種特殊素數貌似簡單，但探究難度卻極大。它不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且還需要進行艱鉅的計算。梅森素數歷來是數論研究的一項重要內容，也是當今科學探索的熱點和難點之一。

2013年2月6日，據英國《新科學家》雜誌網站報道，柯蒂斯·庫珀(Curtis Cooper)領導的研究小組於1月25日日發現了已知的最大梅森素數--“2^57885161-1”，該素數有17,425,170位，它是目前已知的最大素數。如果用普通字號將這個巨數連續寫下來，其長度可超過65公里！迄今人們已經發現48個梅森素數。 ^[1] 

1772年，有“數學英雄”美名的瑞士數學大師歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了2^31-1(即2147483647)是第8個梅森素數。這個具有10位的素數，堪稱當時世界上已知的最大素數。

在“手算筆錄”的年代，人們僅找到12個梅森素數。而計算機的誕生和網格技術的出現，加速了梅森素數探究的進程。1996年初，美國數學家、程序設計師喬治·沃特曼編制了一個梅森素數計算程序，並把它放在網頁上供全球數學家和業餘數學愛好者免費使用。它就是舉世聞名的GIMPS項目。

為了激勵人們尋找梅森素數和促進網格技術發展，總部設在美國的電子新領域基金會（EFF）於1999年設立了專項獎金懸賞參與GIMPS項目的梅森素數發現者。它規定向第一個找到超過100萬位數的個人或機構頒發5萬美元。後面的獎金依次為：超過1000萬位數，10萬美元；超過1億位數，15萬美元；超過10億位數，25萬美元。不過，絕大多數人蔘與該項目並不是為了金錢，而是出於好奇心、求知慾和榮譽感。

梅森素數的分佈極不規則。探索梅森素數的分佈規律似乎比尋找新的梅森素數更為困難。數學家們在長期的摸索中，提出了一些猜想。英國數學家香克斯、美國數學家吉里斯、法國數學家託洛塔和德國數學家伯利哈特就曾分別給出過關於梅森素數分佈的猜測，但他們的猜測有一個共同點，就是都以近似表達式給出；而它們與實際情況的接近程度均未盡如人意。中國數學家及語言學家周海中經過多年的研究，於1992年首次給出了梅森素數分佈的精確表達式，為人們尋找這一素數提供了方便；後來這一重大成果被國際上命名為“周氏猜測”。美籍挪威數論大師、菲爾茨獎和沃爾夫獎得主阿特勒·塞爾伯格認為：周氏猜測具有創新性，開創了富於啓發性的新方法；其創新性還表現在揭示新的規律上。 ^[2] 

關於素數個數的研究是素數分佈中最重要的問題之一。以 π(x)表示不大於x的素數個數，例如，π(2)=1，π(3)=2，π(100)=25，π(1000)=168。歐幾里得早就證明了素數有無窮多個，即。從表可以看出：①x越大,π(x)與x的比值越接近於0；②x越大,π(x)與x/lnx的比值越接近於1。A.-M.勒讓德和C.F.高斯猜測即通常所稱的素數定理。它是素數分佈理論的中心定理。在這方面首先做出貢獻的是∏.Л.切比雪夫，他在1852年左右證明了存在兩個正常數с₁,с₂，使得不等式с₁x/lnx≤π(x)≤с₂x/lnx成立，其中x≥2。在1896年，J.（-S.）阿達馬和C.瓦萊·普桑彼此獨立而又幾乎同時證明了素數定理。他們的證明都使用了高深的複變函數論知識。因此，能否以儘可能初等的方法來證明素數定理，則成為數學家一直探討的重要問題。1949年，A.賽爾伯格和P.愛爾特希給出了素數定理的初等證明，除了極限、lnx和e的性質之外，沒有用到其他的分析知識，但證明過程十分複雜。他們的證明是基於賽爾伯格的著名恆等式：

當x≥1時有

式中

，

表示對所有不超過x的素數求和，記號O的定義如下：設g(x)>0,ƒ(x)為一復值函數, α≤x≤b)。若存在一個與x無關的正常數M,使得當α≤x≤b)時有|ƒ(x)|≤Mg(x),則記為ƒ(x)=O(g(x)),M稱為記號O所含之常數。於是某一滿足上述條件的函數ƒ(x),就可用O(g(x))代之。

有誤差項的素數定理是指尋求誤差π(x)-lix的最佳估計,,它比x/lnx更接近於π(x)。C.瓦萊·普桑於1900年首先證明了這裏с是一正的常數。H.von科赫於1901年在黎曼假設（見黎曼ζ函數）下證明了

O(xlnx)。

И.М.維諾格拉多夫等於1958年藉助於他的三角和估計方法,得到π(x)-lix=O(xexp(-с(lnx)))，ε為任意正數，с是和ε有關的正常數。誤差項π(x)-lix的變化是極不規則的。設ƒ(x)是實函數，如果存在與x無關的正常數α，使得任意大的x滿足ƒ(x)>αx，則記為ƒ(x)=Ω(x)；若使得任意大的x滿足ƒ(x)<- αx，則記為ƒ(x)=Ω-(x)。若這兩種情形同時出現，則記為ƒ(x)=Ω(x)。J.E.李特爾伍德於1914年證明了：當x→∞時，有π(x)-lix=Ω((xlnlnlnx)/lnx)。

算術級數中的素數定理 　P.G.L.狄利克雷於1837年首先證明了首項與公差互素的算術級數中有無限多個素數。設整數q≥3.1≤l≤q，(l,q)=1。以π(x,q,l)表首項為l、公差為q的算術級數中不超過x的素數之個數。類似於素數定理，對於固定的q，容易證明： 式中φ(q)表示不超過q且與q互素的正整數的個數。這就是通常所説的算術級數中的素數定理。關於誤差項估計，A.佩奇於1935年和C.L.西格爾與A.瓦爾菲施於1936年證明了：對任意正數h，當3≤q≤(lnx)時，有

式中с為絕對正常數；記號O中所含的常數僅與h有關，而與q無關。

設k≥3，1≤l≤k，(l,k)=1。以p(k,l)表算術級數k_nl(n=0,1,2,…)中的最小素數。S.喬拉猜測p(k,l)=O(k)，其中ε為任意小的正數。ю.Β.林尼克於1944年首先證明了存在絕對常數с，使得p(k,l)=O(k)。潘承洞於1957年首先指出с是可以計算的，並定出了с的值。目前最好的結果с≤17是陳景潤於1979年得到的。

設p_n是第n個素數，是相鄰的兩個素數之差。在黎曼假設下,H.克拉默於1921年證明了無條件結果是赫斯－布朗和H.伊瓦尼克於1979年得到的。另一方面，關於d_n的下界，E.邦別裏和H.達文波特於1966年證明了：M.N.赫胥黎於1977年改進為E≤0.4425。猜測應有E=0。關於d_n還有許多有趣的研究。