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因式分解

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把一個多項式在一個範圍(如實數範圍內分解,即所有項均為實數)化為幾個整式的積的形式,這種式子變形叫做這個多項式的因式分解,也叫作把這個多項式分解因式。
中文名
因式分解
外文名
factorization
步    驟
把一個多項式化為幾個整式的積
恆等變形
歸屬學科
數學
作    用
簡化問題,使解決起來更加快捷

因式分解基本概念

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因式分解定義

把一個多項式在一個範圍化為幾個整式的積的形式,這種式子變形叫做這個多項式的因式分解,也叫作把這個多項式分解因式。
因式分解是中學數學中最重要的恆等變形之一,它被廣泛地應用於初等數學之中,在數學求根作圖、解一元二次方程方面也有很廣泛的應用,是解決許多數學問題的有力工具。
因式分解方法靈活,技巧性強。學習這些方法與技巧,不僅是掌握因式分解內容所需的,而且對於培養解題技能、發展思維能力都有着十分獨特的作用。學習它,既可以複習整式的四則運算,又為學習分式打好基礎;學好它,既可以培養學生的觀察、思維發展性、運算能力,又可以提高綜合分析和解決問題的能力。 [1] 

因式分解相關結論:

  • 基本結論:分解因式為整式乘法的逆過程。
  • 高級結論:在高等代數上,因式分解有一些重要結論,在初等代數層面上證明很困難,但是理解很容易。
1)因式分解與解高次方程有密切的關係。對於一元一次方程一元二次方程,初中已有相對固定和容易的方法。在數學上可以證明,對於一元三次方程一元四次方程,也有固定的公式可以求解。只是因為公式過於複雜,在非專業領域沒有介紹。對於分解因式,三次多項式和四次多項式也有固定的分解方法,只是比較複雜。對於五次以上的一般多項式,已經證明不能找到固定的因式分解法,五次以上的一元方程也沒有固定解法。
2) 所有的三次和三次以上的一元多項式在實數範圍內都可以因式分解,所有的二次或二次以上的一元多項式在複數範圍內都可以因式分解。這看起來或許有點不可思議。比如x⁴+1,這是一個一元四次多項式,看起來似乎不能因式分解。但是它的次數高於3,所以一定可以因式分解。也可以用待定係數法將其分解,只是分解出來的式子並不整潔。(這是因為,由代數基本定理可知n次一元多項式總是有n個根,也就是説,n次一元多項式總是可以分解為n個一次因式的乘積。並且還有一條定理:實係數多項式的虛數根兩兩共軛的,將每對共軛的虛數根對應的一次因式相乘,可以得到二次的實係數因式,從而這條結論也就成立了。)
3)因式分解雖然沒有固定方法,但是求兩個多項式的公因式卻有固定方法。因式分解很多時候就是用來提公因式的。尋找公因式可以用輾轉相除法來求得。標準的輾轉相除技能對於中學生來説難度頗高,但是中學有時候要處理的多項式次數並不太高,所以反覆利用多項式的除法也可以但比較笨,不過能有效地解決找公因式的問題。
4)因式分解是很困難的,初中所接觸的只是因式分解很簡單的一部分。 [2] 

因式分解分解一般步驟

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1、如果多項式的首項為負,應先提取負號;
這裏的“負”,指“負號”。如果多項式的第一項是負的,一般要提出負號,使括號內第一項係數是正的。
2、如果多項式的各項含有公因式,那麼先提取這個公因式,再進一步分解因式;
要注意:多項式的某個整項是公因式時,先提出這個公因式後,括號內切勿漏掉1;提公因式要一次性提幹淨,並使每一個括號內的多項式都不能再分解。
3、如果各項沒有公因式,那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解;
4、如果用上述方法不能分解,再嘗試用分組、拆項、補項法來分解。
口訣:先提首項負號,再看有無公因式,後看能否套公式,十字相乘試一試,分組分解要合適。

因式分解原則

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1、分解因式是多項式的恆等變形,要求等式左邊必須是多項式。
2、分解因式的結果必須是以乘積的形式表示。
3、每個因式必須是整式,且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數
4、結果最後只留下小括號,分解因式必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止;
5、結果的多項式首項一般為正。 在一個公式內把其公因子抽出,即透過公式重組,然後再抽出公因子;
6、括號內的首項係數一般為正;
7、如有單項式和多項式相乘,應把單項式提到多項式前。如(b+c)a要寫成a(b+c);
8、考試時在沒有説明化到實數時,一般只化到有理數就夠了,有説明實數的話,一般就要化到實數。
口訣:首項有負常提負,各項有“公”先提“公”,某項提出莫漏1,括號裏面分到“底”。

因式分解分解方法

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因式分解主要有十字相乘法,待定係數法雙十字相乘法對稱多項式,輪換對稱多項式法,餘式定理法等方法,求根公因式分解沒有普遍適用的方法,初中數學教材中主要介紹了提公因式法、運用公式法分組分解法。而在競賽上,又有拆項和添減項法式法,換元法長除法短除法除法等。

因式分解提公因式法

如果一個多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法
各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。公因式可以是單項式,也可以是多項式
具體方法:在確定公因式前,應從係數和因式兩個方面考慮。當各項係數都是整數時,公因式的係數應取各項係數的最大公約數字母取各項的相同的字母,而且各字母的指數取次數最低的。當各項的係數有分數時,公因式係數為各分數的最大公約數。如果多項式的第一項為負,要提出負號,使括號內的第一項的係數成為正數。提出負號時,多項式的各項都要變號。
基本步驟:
(1)找出公因式;
(2)提公因式並確定另一個因式;
①找公因式可按照確定公因式的方法先確定係數再確定字母;
②提公因式並確定另一個因式,注意要確定另一個因式,可用原多項式除以公因式,所得的商即是提公因 式後剩下的一個因式,也可用公因式分別除去原多項式的每一項,求的剩下的另一個因式;
③提完公因式後,另一因式的項數與原多項式的項數相同。
口訣:找準公因式,一次要提盡,全家都搬走,留1把家守,提負要變號,變形看奇偶。
例:
注意:
變成
不叫提公因式,因為括號內不得用分數

因式分解公式法

如果把乘法公式的等號兩邊互換位置,就可以得到用於分解因式的公式,用來把某些具有特殊形式的多項式分解因式,這種分解因式的方法叫做公式法
分解公式:
即兩個數的平方差,等於這兩個數的和與這兩個數的差的積。
即兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍,等於這兩個數的和 (或差)的平方。
注意:能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的 [3]  形式,另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。
口訣:首平方,尾平方,積的二倍放中央。同號加、異號減,符號添在異號前。
推廣:
(1)即三數和的平方,等於這三個數的平方和加上每兩項的積的2倍。
(2)即四數和的平方,等於這四個數的平方和加上每兩數的積的2倍。
即幾個數的和的平方,等於這幾個數的平方和加上每兩數的積的2倍。
(3)
(4)
即兩數之和,乘它們的平方和與它們的積的差,等於這兩個數的立方和。
推廣:三項立方和公式:
即三數之和,乘它們的平方和與它們兩兩的積的差,等於這三個數的立方和減三數之積的三倍
變形:
即兩數之差,乘它們的平方和與它們的積的和,等於這兩個數的立方差。
變形:
即兩數之和(差)的立方等於這兩個數的立方和(差)與每一個數的平方乘以另一個數3倍的和(和與差)。
6、兩根式:

因式分解十字相乘法

對於
型的式子如果
能分解為數
的積,且有
時(即ab和是一次項的係數),那麼
;或對於
型的式子如果有
,且有
時,那麼
。這種分解因式的方法叫做十字相乘法
注:與十字相乘法對應的還有雙十字相乘法
具體方法:十字左邊相乘等於二次項係數,右邊相乘等於常數項,交叉相乘再相加等於一次項。
口訣:分二次項,分常數項,交叉相乘求和得一次項。(拆兩頭,湊中間)
特點:
(1)二次項係數是1;
(2)常數項是兩個數的乘積;
(3)一次項係數是常數項的兩因數的和。
基本步驟:
(1)把二次項係數和常數項分別分解因數;
(2)嘗試十字圖,使經過十字交叉線相乘後所得的數的和為一次項係數;
(3)確定合適的十字圖並寫出因式分解的結果;
(4)檢驗。
例1:把6+13x + 6分解因式
解:
例1 例1
原式=(2x+3)(3x+2)
例2:把3-3-60m分解因式
解:
∴原式=3m(m²-m-20)
=3m(m-5)(m+4)

因式分解雙十字相乘法

對於某些二元二次六項式
(xy為未知數,其餘都是常數),用兩次十字相乘法分解因式,這種分解因式的方法叫做十字相乘法
步驟:
(1)用十字相乘法分解二次項(
),得到一個十字相乘圖(有兩列);
(2)把常數項f分解成兩個因式填在第三列上,要求第二、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的ey,第一、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的dx
(3)先以一個字母的一次係數分數常數項;
(4)再按另一個字母的一次係數進行檢驗;
(5)橫向相加,縱向相乘。
例:分解因式:+5xy+6+8x+18y+12.
解析:這是一個二次六項式,可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。
解:
x2y2
x3y6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)

因式分解輪換對稱法

當題目為一個輪換對稱式時,可用輪換對稱法進行分解。
步驟:
(1)試根
把下列5個等式分別帶入原式,找出令原式等於0的那個等式。
1、 x=0
2、 x=y
3、 x=-y
4、 x=y+z
5、 x=-y-z
(2)輪換
1、若x=0使原式=0 原式必有因式xyz
2、若x=y使原式=0 原式必有因式(x-y)(y-z)(z-x)
3、若x=-y使原式=0 原式必有因式(x+y)(y+z)(z+x)
4、若x=y+z使原式=0 原式必有因式(x-y-z)(y-z-x)(z-x-y)
5、若x=-y-z使原式=0 原式必有因式(x+y+z)
(3)對比次數
用原式的次數減去必有因式的次數,然後再乘上差的次數的對應的式子。(差幾次添幾次)
須添上的輪換對稱式:
1次:x+y+z
2次:x²+y²+z²、xy+yz+zx
3次:x³+y³+z³、x²y+y²z+z²x、xy²+yz²+zx²、xyz
(4)根據次數待定係數
在需要乘上的式子前加上字母,待定係數。
(5)算出待定的係數
用特值法及恆等式性質算出待定的係數。
(6)得出答案
進行檢驗,寫出答案。
例:分解因式:x²(y-z)³+y²(z-x)³+z²(x-y)³
解: x=y 原式=0
必有因式(x-y)(y-z)(z-x)
原式為五次式,(x-y)(y-z)(z-x)為三次式,則需要補上二次式
設補上a(x²+y²+z²)+b(xy+yz+zx)
原式=(x-y)(y-z)(z-x)[a(x²+y²+z²)+b(xy+yz+zx)]
特值法:
令x=1 y=2 z=3
x²(y-z)³+y²(z-x)³+z²(x-y)³=(x-y)(y-z)(z-x)[a(x²+y²+z²)+b(xy+yz+zx)]
-1+32-9=(-1)·(-1)·2·(14a+11b)
22=28a+22b
14a+11b=11
令x=3 y=2 z=4
x²(y-z)³+y²(z-x)³+z²(x-y)³=(x-y)(y-z)(z-x)[a(x²+y²+z²)+b(xy+yz+zx)]
-72+4+16=1·(-2)·1·(29a+26b)
-52=-58a-52b
29a+26b=26
解得a=0
b=1
原式=(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)

因式分解分組分解法

通過分組分解的方式來分解提公因式法和公式分解法無法直接分解的因式,這種分解因式的方法叫做分組分解法。能分組分解的多項式有四項或大於四項,一般的分組分解有兩種形式:二二分法,三一分法。
例1:因式分解ax+ay+bx+by
解析:把ax和ay分一組,bx和by分一組,利用乘法分配律,兩兩相配,立即解除了困難。
解:ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
例2:因式分解5ax+5bx+3ay+3by
解析:係數不一樣一樣可以做分組分解,和上面一樣,把5ax和5bx看成整體,把3ay和3by看成一個整體,利用乘法分配律輕鬆解出。
解:5ax+5bx+3ay+3by
=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
例3:因式分解 x²-x-y²-y
解析:利用二二分法,再利用公式法a²-b²=(a+b)(a-b),然後相合解決。
解:x²-x-y²-y
=(x²-y²)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
例4:因式分解a²-b²-2bc-c²
解:a²-b²-2bc-c²
=a²-(b+c)²
=(a-b-c)(a+b+c)

因式分解拆添項法

把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項(或幾項),使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解,這種分解因式的方法叫做拆項補項法。要注意,必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
例:分解因式:x³-9x+8.
分析:本題解法很多,這裏只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法,注意一下拆項、添項的目的與技巧.
解法1: 將常數項8拆成-1+9.
原式=x³-9x-1+9
=(x³-1)-9x+9
=(x-1)(x²+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x²+x-8)
解法2將一次項-9x拆成-x-8x.
原式=x³-x-8x+8
=(x³-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x²+x-8)
解法3將三次項x³拆成9x³-8x³.
原式=9x³-8x³-9x+8
=(9x³-9x)+(-8x³+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x²+x+1)
=(x-1)(x²+x-8)
解法4 添加兩項-x²+x².
原式=x³-9x+8
=x³-x²+x²-9x+8
=x²(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x²+x-8)

因式分解配方法

對於某些不能利用公式法的多項式,可以將其配成一個完全平方式,然後再利用平方差公式,就能將其因式分解,這種分解因式的方法叫做配方法。屬於拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
例:分解因式x²+3x-40
解:x²+3x-40
=x²+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)²-(6.5)²
=(x+8)(x-5).

因式分解因式定理法

根據因式定理,用求多項式的根來確定多項式的一次因式,從而對多項式進行因式分解的方法叫做因式定理法
具體方法:根據因式定理(若
是一元多項式
的根,即
成立,則多項式
有一個因式
),找出一元多項式
的一次因式的關鍵是求多項式
的根.對於任意多項式
,要求出它的根是沒有一般方法的,然而當多項式f(x)的係數都是整數時,即整係數多項式時,若既約分數q/p是整係數多項式
的根,則必有
的約數,
的約數。特別地,當
時,整係數多項式
的整數根均為
的約數。
注意:
(1)對於係數全部是整數的多項式,若
(p,q為互質整數時)該多項式值為零,則q為常數項約數,p最高次項係數約數;
(2)對於多項式
為最高次項係數,
為常數項,則有
約數。
例:f(x)=x²+5x+6,f(-2)=0,則可確定x+2是x²+5x+6的一個因式。(事實上,x²+5x+6=(x+2)(x+3).)

因式分解換元法

選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數,然後進行因式分解,最後再轉換回來,這種分解因式的方法叫做換元法。注意,換元后勿忘還元。
例:分解因式(x²+x+1)(x²+x+2)-12
解:令y=x²+x,則
原式=(y+1)(y+2)-12
=y²+3y+2-12=y²+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x²+x+5)(x²+x-2)
=(x²+x+5)(x+2)(x-1).

因式分解綜合除法

令多項式
,求出其根為
,則該多項式可分解為
。這種分解因式的方法叫做綜合除法
例:分解因式2x⁴+7x³-2x²-13x+6
解:令2x⁴ +7x³-2x²-13x+6=0,
則通過綜合除法可知,該方程的根為0.5 ,-3,-2,1.
所以2x⁴+7x³-2x²-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).
令y=f(x),做出函數y=f(x)的圖象,找到函數圖像與X軸的交點x1,x2,x3,……xn ,則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn).

因式分解主元法

在分解含多個字母的代數式時,選取其中一個字母為主元(未知數),將其它字母看成是常數,把代數式整理成關於主元的降冪排列(或升冪排列)的多項式,再嘗試用公式法、配方法、分組分解法等分解因式的方法進行分解。這種分解因式的方法叫做主元法

因式分解特殊值法

將2或10代入x,求出數p,將數p分解質因數,將質因數適當的組合,並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式,將2或10還原成x,即得因式分解式。這種分解因式的方法叫做特殊值法
例:分解因式
解:令
,則
將105分解成3個質因數的積,即
注意到多項式中最高項的係數為1,而3、5、7分別為
,在
時的值,
可能等於
,驗證後的確如此。

因式分解待定係數法

在因式分解時,一些多項式經過分析,可以斷定它能分解成某幾個因式,但這幾個因式中的某些係數尚未確定,這時可以用一些字母來表示待定的係數。由於該多項式等於這幾個因式的乘積,根據多項式恆等的性質,兩邊對應項係數應該相等,或取多項式中原有字母的幾個特殊值,列出關於待定係數的方程(或方程組),解出待定字母系數的值,這種因式分解的方法叫作待定係數法
例:分解因式
解析:這個多項式沒有一次因式,因而只能分解為兩個二次因式。
解:設
由此可得
a+c=-1
ac+b+d=-5
ad+bc=-6
bd=-4
解得a=1,b=1,c=-2,d=-4

因式分解二次多項式

根與係數關係二次多項式的因式分解
例:對於二次多項式
.
解:當
時,設
的解為

因式分解應用

編輯

因式分解多項式除以多項式

例:計算
解:原式=

因式分解一元高次多項式方程求根

例:在實數範圍內解方程
解:∵
∴原方程即
=0
又∵
∴在實數範圍內,原方程等價於
∴在實數範圍內,原方程的解為

因式分解解一元二次不等式以及一元二次方程

例1:解不等式
解:原不等式可化為
例2:解一元二次方程
解:整理得

因式分解化簡分式

例:化簡
解:原式=

因式分解梅森合數分解

1、p=4r+3,如果8r+7也是素數,則:(8r+7)|(2P-1)。即(2p+1)|(2P-1)
例如:
23|(2¹¹-1);11=4×2+3
47|(2²³-1);23=4×5+3
167|(2⁸³-1);83=4×20+3
2、p=2n×32+1,,則(6p+1)|(2P-1),
例如:
223|(2³⁷-1);37=2×2×3×3+1
439|(2⁷³-1);73=2×2×2×3×3+1
3463|(2⁵⁷⁷-1);577=2×2×2×2×2×2×3×3+1
3、p=2n×3m×5s-1,則(8p+1)|(2p-1)
例如;
233|(2²⁹-1);29=2×3×5-1
1433|(2¹⁷⁹-1);179=2×2×3×3×5-1
1913|(2²³⁹-1);239=2×2×2×2×3×5-1 [2] 

因式分解例題

編輯
例1:分解因式(1+y)²-2x²(1+y²)+x⁴(1-y)².
解:原式=(1+y)²+2(1+y)x²(1-y)+x⁴(1-y)²-2(1+y)x²(1-y)-2x²(1+y²)(補項)
=[(1+y)+x²(1-y)]²-2(1+y)x²(1-y)-2x²(1+y²)(完全平方)
=[(1+y)+x²(1-y)]²-(2x)²
=[(1+y)+x²(1-y)+2x][(1+y)+x²(1-y)-2x]
=(x²-x²y+2x+y+1)(x²-x²y-2x+y+1)
=[(x+1)²-y(x²-1)][(x-1)²-y(x²-1)]
=[(x+1)²-y(x+1)(x-1)][(x-1)²-y(x+1)(x-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y).
例2:求證:對於任何整數x,y,下式的值都不會為33:x⁵+3x⁴y-5x³y²-15x²y³+4xy⁴+12y⁵.
解:原式=(x⁵+3x⁴y)-(5x³y²+15x²y³)+(4xy⁴+12y⁵)
=x⁴(x+3y)-5x²y²(x+3y)+4y⁴(x+3y)
=(x+3y)(x⁴-5x²y²+4y⁴)
=(x+3y)(x²-4y²)(x²-y²)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y).
當y=0時,原式=x⁵不等於33;當y不等於0時,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四個以上不同因數的積,所以原命題成立。
例3:△ABC的三邊a、b、c有如下關係式:-c²+a²+2ab-2bc=0,求證:這個三角形是等腰三角形。
分析:此題實質上是對關係式的等號左邊的多項式進行因式分解。
證明:∵-c²+a²+2ab-2bc=0,
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0.
∴(a-c)(a+2b+c)=0.
∵a、b、c是△ABC的三條邊,
∴a+2b+c>0.
∴a-c=0,
即a=c,△ABC為等腰三角形。
例4:把-12x2n×yn+18xn+2yn+1-6xn×yn-1分解因式。
解:-12x2n×yn+18xn+2yn+1-6xn×yn-1
=-6xn×yn-1(2xn×y-3x2y2+1).
參考資料
  • 1.    邵祝會. 因式分解在初中數學中的重要作用[J]. 教育界:基礎教育研究, 2011(7):143-143.
  • 2.    單墫.數學奧林匹克小叢書:因式分解技巧(初中卷1)(第2版):華東師範大學出版社,2012年
  • 3.    田發銀. 因式分解的常用方法與技巧[J]. 中學生數理化:八年級數學人教版, 2007(11).