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哥德巴赫猜想

(世界近代三大數學難題之一)

鎖定
哥德巴赫1742年在給歐拉的信中提出了以下猜想:任一大於2的整數都可寫成兩個質數之和 [1]  。但是哥德巴赫自己無法證明它,於是就寫信請教赫赫有名的大數學家歐拉幫忙證明,但是一直到死,歐拉也無法證明。 [2]  因現今數學界已經不使用“1也是素數”這個約定,原初猜想的現代陳述為:任一大於5的整數都可寫成三個質數之和。(n>5:當n為偶數,n=2+(n-2),n-2也是偶數,可以分解為兩個質數的和;當n為奇數,n=3+(n-3),n-3也是偶數,可以分解為兩個質數的和)歐拉在回信中也提出另一等價版本,即任一大於2的偶數都可寫成兩個質數之和。今日常見的猜想陳述為歐拉的版本。把命題"任一充分大的偶數都可以表示成為一個素因子個數不超過a個的數與另一個素因子不超過b個的數之和"記作"a+b"。1966年陳景潤證明瞭"1+2"成立,即"任一充分大的偶數都可以表示成二個素數的和,或是一個素數和一個半素數的和"。
今日常見的猜想陳述為歐拉的版本,即任一大於2的偶數都可寫成兩個素數之和,亦稱為“強哥德巴赫猜想”或“關於偶數的哥德巴赫猜想”。
從關於偶數哥德巴赫猜想,可推出:任何一個大於7的奇數都能被表示成三個奇質數的和。後者稱為“弱哥德巴赫猜想”或“關於奇數的哥德巴赫猜想”。若關於偶數的哥德巴赫猜想是對的,則關於奇數的哥德巴赫猜想也會是對的。2013年5月,巴黎高等師範學院研究員哈洛德·賀歐夫各特發表了兩篇論文,宣佈徹底證明瞭弱哥德巴赫猜想
中文名
哥德巴赫猜想
外文名
Goldbach conjecture
提出者
哥德巴赫
所屬領域
數學
提出時間
1742年
別    名
“強哥德巴赫猜想”和“弱哥德巴赫猜想”

哥德巴赫猜想猜想提出

1742年,哥德巴赫給歐拉的信中提出了以下猜想:任一大於2的整數都可寫成三個質數之和。但是哥德巴赫自己無法證明它,於是就寫信請教赫赫有名的大數學家歐拉幫忙證明,然而一直到死,歐拉也無法證明。
因現今數學界已經不使用“1也是素數”這個約定,哥德巴赫猜想的現代陳述為:任一大於5的整數都可寫成三個質數之和。(n>5:當n為偶數,n=2+(n-2),n-2也是偶數,可以分解為兩個質數的和;當n為奇數,n=3+(n-3),n-3也是偶數,可以分解為兩個質數的和)。歐拉在回信中也提出另一等價版本,即任一大於2的偶數都可寫成兩個質數之和。把命題"任一充分大的偶數都可以表示成為一個素因子個數不超過a的個數與另一個素因子不超過b的個數之和"記作"a+b"。1966年陳景潤證明瞭"1+2"成立,即"任一充分大的偶數都可以表示成二個素數的和,或是一個素數和一個半素數的和"。
今日常見的猜想陳述為歐拉的版本,即任一大於2的偶數都可寫成兩個素數之和,亦稱為“強哥德巴赫猜想”或“關於偶數的哥德巴赫猜想”。
從關於偶數的哥德巴赫猜想,可推出:任何一個大於7的奇數都能被表示成三個奇質數的和。後者稱為“弱哥德巴赫猜想”或“關於奇數的哥德巴赫猜想”。若關於偶數的哥德巴赫猜想是對的,則關於奇數的哥德巴赫猜想也會是對的。2013年5月,巴黎高等師範學院研究員哈洛德·賀歐夫各特發表了兩篇論文,宣佈徹底證明瞭弱哥德巴赫猜想。

哥德巴赫猜想研究途徑

研究偶數的哥德巴赫猜想的四個途徑。這四個途徑分別是:殆素數,例外集合,小變量的三素數定理以及幾乎哥德巴赫問題
殆素數
殆素數就是素因子個數不多的正整數。現設N是偶數,雖然不能證明N是兩個素數之和,但足以證明它能夠寫成兩個殆素數的和,即N=A+B,其中A和B的素因子個數都不太多,譬如説素因子個數不超過10。用“a+b”來表示如下命題:每個大偶數N都可表為A+B,其中A和B的素因子個數分別不超過a和b。顯然,哥德巴赫猜想就可以寫成"1+1"。在這一方向上的進展都是用所謂的篩法得到的。
“a + b”問題的推進
1920年,挪威布朗證明瞭“9 + 9”。
1924年,德國的拉特馬赫證明瞭“7 + 7”。
1932年,英國的埃斯特曼證明瞭“6 + 6”。
1937年,意大利蕾西先後證明瞭“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。
1938年,蘇聯的布赫夕太勃證明瞭“5 + 5”。
1940年,蘇聯的布赫夕太勃證明瞭“4 + 4”。
1956年,中國的王元證明瞭“3 + 4”。稍後證明瞭 “3 + 3”和“2 + 3”。
1948年,匈牙利的瑞尼證明瞭“1+ c”,其中c是一很大的自然數。
1962年,中國的潘承洞和蘇聯的巴爾巴恩證明瞭“1 + 5”, 中國的王元證明瞭“1 + 4”。
1965年,蘇聯的布赫 夕太勃和小維諾格拉多夫,及意大利的朋比利證明瞭“1 + 3 ”。
1966年,中國的陳景潤證明瞭 “1 + 2 ”。
例外集合
在數軸上取定大整數x,再從x往前看,尋找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶數,即例外偶數。x之前所有例外偶數的個數記為E(x)。我們希望,無論x多大,x之前只有一個例外偶數,那就是2,即只有2使得猜想是錯的。這樣一來,哥德巴赫猜想就等價於E(x)永遠等於1。當然,還不能證明E(x)=1;但是能夠證明E(x)遠比x小。在x前面的偶數個數大概是x/2;如果當x趨於無窮大時,E(x)與x的比值趨於零,那就説明這些例外偶數密度是零,即哥德巴赫猜想對於幾乎所有的偶數成立。這就是例外集合的思路。
維諾格拉多夫的三素數定理發表於1937年。第二年,在例外集合這一途徑上,就同時出現了四個證明,其中包括華羅庚先生的著名定理。
業餘搞哥德巴赫猜想的人中不乏有人聲稱“證明”了哥德巴赫猜想在概率意義下是對的。實際上他們就是“證明”了例外偶數是零密度。這個結論華羅庚早在60年前就已真正證明出來。
三素數定理
我們可以把這個問題反過來思考:如果偶數的哥德巴赫猜想正確,那麼奇數的猜想也正確。已知奇數N可以表成三個素數之和,假如又能證明這三個素數中有一個非常小,譬如説第一個素數可以總取3,那麼我們也就證明瞭偶數的哥德巴赫猜想。這個思想促使潘承洞先生在1959年,25歲時,研究有一個小素變數的三素數定理。這個小素變數不超過N的θ次方。我們的目標是要證明θ可以取0,即這個小素變數有界,從而推出偶數的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先證明θ可取1/4。後來的很長一段時間內,這方面的工作一直沒有進展,直到1995年展濤教授把潘老師的定理推進到7/120。這個數已經比較小了,但是仍然大於0。
幾乎哥德巴赫問題
1953年,林尼克發表了一篇長達70頁的論文。在文中,他率先研究了幾乎哥德巴赫問題,證明瞭,存在一個固定的非負整數k,使得任何大偶數都能寫成兩個素數與k個2的方冪之和。這個定理,看起來好像醜化了哥德巴赫猜想,實際上它是非常深刻的。我們注意,能寫成k個2的方冪之和的整數構成一個非常稀疏的集合;事實上,對任意取定的x,x前面這種整數的個數不會超過log x的k次方。因此,林尼克定理指出,雖然我們還不能證明哥德巴赫猜想,但是我們能在整數集合中找到一個非常稀疏的子集,每次從這個稀疏子集裏面拿一個元素貼到這兩個素數的表達式中去,這個表達式就成立。這裏的k用來衡量幾乎哥德巴赫問題向哥德巴赫猜想逼近的程度,數值較小的k表示更好的逼近度。顯然,如果k等於0,幾乎哥德巴赫問題中2的方冪就不再出現,從而,林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。
林尼克1953年的論文並沒有具體定出k的可容許數值,此後四十多年間,人們還是不知道一個多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的論證,這個k應該很大。1999年,作者與廖明哲及王天澤兩位教授合作,首次定出k的可容許值54000。這第一個可容許值後來被不斷改進。其中有兩個結果必須提到,即李紅澤、王天澤獨立地得到k=2000。最好的結果k=13是英國數學家希思-布朗(D. R. Heath-Brown)和德國數學家普赫塔(Puchta)合作取得的,這是一個很大的突破。

哥德巴赫猜想研究歷史

華羅庚是中國最早從事哥德巴赫猜想的數學家。1936~1938年,他赴英留學,師從哈代研究數論,並開始研究哥德巴赫猜想,驗證了對於幾乎所有的偶數猜想。
1950年,華羅庚從美國回國,在中科院數學研究所組織數論研究討論班,選擇哥德巴赫猜想作為討論的主題。參加討論班的學生,例如王元、潘承洞和陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明上取得了相當好的成績。
1956年,王元證明瞭“3+4”;同年,原蘇聯數學家阿·維諾格拉朵夫證明瞭“3+3”;1957年,王元又證明瞭“2+3”;潘承洞於1962年證明瞭“1+5”;1963年,潘承洞、巴爾巴恩與王元又都證明瞭“1+4”;1966年,陳景潤在對篩法作了新的重要改進後,證明瞭“1+2”,即他證明瞭任何一個充分大的偶數,都可以表示為兩個數之和,其中一個是素數,另一個或為素數,或為兩個素數的乘積,被稱為“陳氏定理”。 [3] 
參考資料
  • 1.    張傑編著. 歷史上著名的科學家[M]. 長春:吉林出版集團有限責任公司, 2014:150
  • 2.    王麗麗,李小凝著.陳景潤傳:新華出版社,1998年1月
  • 3.    王濱著.大眾科學史.上海:上海科學普及出版社,2018.01:45