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陳氏定理

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陳氏定理，是由中國數學家陳景潤於1966年發表的數論定理，1973年公佈詳細證明方法。 [2] 
中文名
陳氏定理 [2] 
外文名
Chen's theorem [6] 
別    名
“1+2” [1] 
提出者
陳景潤 [2] 
提出時間
1966年5月 [2] 
適用領域
數學 [2] 
相關論題
哥德巴赫猜想 [2] 

目錄

  1. 1 定理定義
  2. 2 發展簡史
  3. 3 陳景潤
  4. 4 哥德巴赫猜想
  5. ▪ 猜想
  6. ▪ 途徑

陳氏定理定理定義

任何一個充分大的偶數都可以表示成一個素數和一個不超過兩個素數的乘積之和。 [2] 

陳氏定理發展簡史

1742年給歐拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大於2的整數都可寫成三個質數之和。因現今數學界已經不使用“1也是素數”這個約定，原初猜想的現代陳述為：任一大於5的整數都可寫成三個質數之和。歐拉在回信中也提出另一等價版本，即任一大於2的偶數都可寫成兩個質數之和。常見的猜想陳述為歐拉的版本。把命題"任一充分大的偶數都可以表示成為一個素因子個數不超過a個的數與另一個素因子不超過b個的數之和"記作"a+b"。 [3]  1966年陳景潤證明了"1+2"成立，即"任何一個充分大的偶數都可以表示成一個素數和不超過兩個素數的乘積之和"。 [2] 

陳氏定理陳景潤

1933年5月生於福建福州，1996年3月19日在北京逝世。1953年畢業於廈門大學，1957年到中科院數學所工作。他主要從事解析數論的研究，並在哥德巴赫問題研究方面取得國際領先的成果。殆素數分佈問題、華林問題、格點問題、算術級數中的最小素數問題等一系列重要數論問題上均有傑出的貢獻，得到了國內外數學家的高度評價。尤其是他關於"1+2"的證明，將200多年來人們未能解決的哥德巴赫猜想的證明大大推進了一步。這一結果被國際上譽為"陳氏定理"；其後又對此作了改進，將最小素數從原有的80推進到16，深受稱讚。仍是偶數哥德巴赫猜想研究中最好的工作。陳景潤曾獲得國家自然科學一等獎、何梁何利數學獎和中國數學會華羅庚數學獎。他的事蹟由徐遲寫成報告文學，鼓舞了一代中國青年投身科學事業。 [7] 
陳景潤像 陳景潤像
1966年，陳景潤髮表《大偶數表為一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和》（簡稱“1+2”），成為哥德巴赫猜想研究上的里程碑。而他所發表的成果也被稱之為陳氏定理。 [4] 
1973年，《中國科學》雜誌全文發表了陳景潤的證明，他的“1+2”被國內外公認為哥德巴赫猜想研究的重要里程碑，迄今無人能及。有人説，他挑戰了解析數論領域250年智力極限的總和。五年後，全國科學大會的召開，迎來了“科學的春天”，一個尊重知識的新時代到來了。陳景潤成為會上最大的亮點，也成為後來青年的偶像，激勵了整整一代人。 [1] 
1982年，陳景潤獲國家自然科學獎一等獎。 [10] 

陳氏定理哥德巴赫猜想

陳氏定理猜想

常見的猜想陳述為歐拉的版本，即任一大於2的偶數都可寫成兩個素數之和，亦稱為“強哥德巴赫猜想”或“關於偶數的哥德巴赫猜想”。 [3] 
從關於偶數的哥德巴赫猜想，可推出：
任一大於7的奇數都可寫成三個質數之和的猜想。後者稱為“弱哥德巴赫猜想”或“關於奇數的哥德巴赫猜想”。 [9] 
若關於偶數的哥德巴赫猜想是對的，則關於奇數的哥德巴赫猜想也會是對的。弱哥德巴赫猜想尚未完全解決，但1937年時前蘇聯數學家維諾格拉多夫已經證明充分大的奇質數都能寫成三個質數的和，也稱為“哥德巴赫-維諾格拉朵夫定理”或“三素數定理”，數學家認為弱哥德巴赫猜想已基本解決。 [9] 

陳氏定理途徑

研究偶數的哥德巴赫猜想的四個途徑。這四個途徑分別是：殆素數，例外集合，小變量的三素數定理，以及幾乎哥德巴赫問題。 [5] 
途徑一：殆素數
殆素數就是素因子個數不多的正整數。現設N是偶數，雖然現不能證明N是兩個素數之和，但是可以證明它能夠寫成兩個殆素數的和，即N=A+B，其中A和B的素因子個數都不太多，譬如説素因子個數不超過10。用“a+b”來表示如下命題：每個大偶數N都可表為A+B，其中A和B的素因子個數分別不超過a和b。顯然，哥德巴赫猜想就可以寫成"1+1"。在這一方向上的進展都是用所謂的篩法得到的。 [5] 
“a + b”問題的推進
1920年，挪威的布朗證明了“9 + 9”。 [8] 
1924年，德國的拉特馬赫證明了“7 + 7”。 [8] 
1932年，英國的埃斯特曼證明了“6 + 6”。 [8] 
1937年，意大利的蕾西先後證明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。 [8] 
1938年，蘇聯的布赫 夕太勃(Byxwrao)證明了“5 + 5”。 [8] 
1940年，蘇聯的布赫 夕太勃證明了“4 + 4”。 [8] 
1948年，匈牙利的瑞尼證明了“1+ c”，其中c是一很大的自然數。 [8] 
1956年，中國的王元證明了“3 + 4”。稍後證明了 “3 + 3”和“2 + 3”。 [8] 
1962年，中國的潘承洞和蘇聯的巴爾巴恩證明了“1 + 5”， 中國的王元證明了“1 + 4”。 [8] 
1965年，蘇聯的布赫夕太勃和小維諾格拉多夫，及意大利的朋比利證明了“1 + 3 ”。 [8] 
1966年，中國的陳景潤證明了 “1 + 2 ”。 [8] 
途徑二：例外集合
在數軸上取定大整數x，再從x往前看，尋找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶數，即例外偶數。x之前所有例外偶數的個數記為E(x)。我們希望，無論x多大，x之前只有一個例外偶數，那就是2，即只有2使得猜想是錯的。這樣一來，哥德巴赫猜想就等價於E(x)永遠等於1。當然，直到2013年還不能證明E(x)=1；但是能夠證明E(x)遠比x小。在x前面的偶數個數大概是x/2；如果當x趨於無窮大時，E(x)與x的比值趨於零，那就説明這些例外偶數密度是零，即哥德巴赫猜想對於幾乎所有的偶數成立。這就是例外集合的思路。 [5] 
維諾格拉多夫的三素數定理發表於1937年。第二年，在例外集合這一途徑上，就同時出現了四個證明，其中包括華羅庚先生的著名定理。 [5] 
業餘搞哥德巴赫猜想的人中不乏有人聲稱“證明”了哥德巴赫猜想在概率意義下是對的。實際上他們就是“證明”了例外偶數是零密度。這個結論華老早在60年前就真正證明出來了。 [5] 
途徑三：小變量的三素數定理
如果偶數的哥德巴赫猜想正確，那麼奇數的猜想也正確。我們可以把這個問題反過來思考。已知奇數N可以表成三個素數之和，假如又能證明這三個素數中有一個非常小，譬如説第一個素數可以總取3，那麼我們也就證明了偶數的哥德巴赫猜想。這個思想就促使潘承洞先生在1959年，即他25歲時，研究有一個小素變數的三素數定理。這個小素變數不超過N的θ次方。我們的目標是要證明θ可以取0，即這個小素變數有界，從而推出偶數的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先證明θ可取1/4。後來的很長一段時間內，這方面的工作一直沒有進展，直到1995年展濤教授把潘老師的定理推進到7/120。這個數已經比較小了，但是仍然大於0。 [5] 
途徑四：幾乎哥德巴赫問題
1953年，林尼克發表了一篇長達70頁的論文。在文中，他率先研究了幾乎哥德巴赫問題，證明了，存在一個固定的非負整數k，使得任何大偶數都能寫成兩個素數與k個2的方冪之和。這個定理，看起來好像醜化了哥德巴赫猜想，實際上它是非常深刻的。我們注意，能寫成k個2的方冪之和的整數構成一個非常稀疏的集合；事實上，對任意取定的x，x前面這種整數的個數不會超過log x的k次方。因此，林尼克定理指出，雖然我們還不能證明哥德巴赫猜想，但是我們能在整數集合中找到一個非常稀疏的子集，每次從這個稀疏子集裏面拿一個元素貼到這兩個素數的表達式中去，這個表達式就成立。這裏的k用來衡量幾乎哥德巴赫問題向哥德巴赫猜想逼近的程度，數值較小的k表示更好的逼近度。顯然，如果k等於0，幾乎哥德巴赫問題中2的方冪就不再出現，從而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。 [5] 
林尼克1953年的論文並沒有具體定出k的可容許數值，此後四十多年間，人們還是不知道一個多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的論證，這個k應該很大。1999年，作者與廖明哲及王天澤兩位教授合作，首次定出k的可容許值54000。這第一個可容許值後來被不斷改進。其中有兩個結果必須提到，即李紅澤、王天澤獨立地得到k=2000。最好的結果k=13是英國數學家希思-布朗(D. R. Heath-Brown)和德國數學家普赫塔(Puchta)合作取得的，這是一個很大的突破。 [5] 
參考資料