有界

設函數

在數集

上有定義，如果存在常數

，使得對任意

，有

則稱函數

在數集

上有界，否則稱為無界。

例如，函數

在其定義域

內有界，這是因為對任意

，總有

。

再如，函數

在其定義域

內是無界的，這是因為對任意的實數

，總存在點

，顯然

，使得

，然而，對任意實數

，函數

在定義域的子集

上卻是有界的，這是因為對任意

，總有

，於是便可取實數

．使得

。 ^{[1]  [2]} 

設函數

在數集

上有定義，如果存在常數

，使得對任意

，有

則稱函數

在數集

上有上界，並稱M為

在A上的上界．如果存在常數m，使得對任意

，有

則稱函數

在數集

上有下界，並稱m為

在

上的下界。

顯然，若

在A上有界，則

在A必有上、下界，反之，若

在A上有上、下界，則

在A上必有界。

由定義1可知，在集合A上有界函數

的圖形在A上，應介於平行於x軸的兩條直線

之間，如圖1所示。 ^[1] 

關於函數的有界性．應注意以下兩點：

(1)函數在某區間上不是有界就是無界，二者必屬其一；

(2)從幾何學的角度很容易判別一個函數是否有界(圖2)．如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函數的圖形介於它們之間，那麼函數一定是無界的，如

。

例1：討論下列函數的有界性：

(1)

；

(2)

．

解: (1)由於對一切

，都有

故

在

上是有界函數。

(2)根據

的圖形容易看出，不論正數M多麼大，不等式

不可能對一切

均成立，因此

在

上是無界函數。

但如果在區間

上討論函數

，因對一切

，不等式

成立，故

在區間

上是有界函數。 ^[3] 

證明：函數

是有界函數。

證明：

的定義域為

，又

因此

是有界函數。 ^[3]