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下界

（數學名詞）

存在一個實數a和一個實數集合B，使得對∀x∈B，都有x≥a，則稱a為B的下界（lower bound）。相反，在數學中，特別是在秩序理論中，在某些部分有序集合（K，≤）的子集S裏面，大於或等於S的每個元素的K的那個元素，叫做上界。而下界被定義為K的元素小於或等於S的每個元素。

存在一個實數a和一個實數集合B，使得對∀x∈B，都有x≥a，則稱a為B的下界（lower bound）。在數學中，特別是在秩序理論中，在某些部分有序集合（K，≤）的子集S裏面，大於或等於S的每個元素的K的那個元素，叫做上界。下界被定義為K的元素小於或等於S的每個元素。^[1]

考慮一個實數集合M。如果有一個實數S，使得M中任何數都大於S，那麼就稱S是M的一個下界。

用數學符號表示為：對∀x∈M，都有x≥s，則稱s是M的下界（lowerbound）。

確界原理：若集合M有上界，則必有上確界；若集合M有下界，則必有下確界。

上確界定義：設S是R中的一個數集，若數η∈S滿足

（i）對∀x∈S，有η≥x，即η是S的上界；

（ii）對∀a<η,存在x0∈S，使得x0>a，即η是S的最小上界（least upper bound），則稱η為數集S的上確界；

下確界定義：設S是R的一個數集，若數ξ∈S滿足：

（i）對∀x∈S，有ξ≤x，即ξ是S的下界；

（ii）對∀β>ξ,∃x0∈S，使得x0<β，即ξ是S的最大下界（greatest lower bound），則稱ξ為數集的S的下確界。

例如，5是集合{5，8，42，34，13934}的下界。

另一個例子是對於集合{42}，數字42既是上界和下界，所有其他實數都不是該集合的上限或下限。

所有自然數的每個子集都具有下界，因為自然數具有最小元素（0或1，取決於自然數的確切定義）。自然數的無限子集不能從上面界定。整數的無限子集可以從下方界定或從上方界定。有理數字的無限子集可能來自也可能不會從下方界定，也可能不限於上述。

非空的完全有序集的每個有限子集都有上界和下界。

下界的定義可以推廣到函數甚至是一組函數。

給定具有域D和部分有序集合（K，

），對於D中的每個x，如果y

f（x），K中的元素y則是函數f的下界。

在D域定義並且具有相同代碼域（K，），對於D中的每個x，如果g（x）≥f（x）均成立，則函數g是f的下界。

如果函數g是該集合中每個函數的下界，則進一步稱為函數集合的下界。

函數的上界概念類似地定義，只要用“

”替換“

”即可。

參考資料

詞條統計