解析數論

數論中以分析方法作為研究工具的一個分支。分析方法在數論中的應用可以追溯到18世紀L.歐拉的時代。歐拉證明了，對實變數s>1有恆等式 （式中s取遍所有素數）成立，並且由此推出素數有無窮多個。歐拉恆等式是數論中最主要的定理之一。隨後P.G.L.狄利克雷創立了研究數論問題的兩個重要工具，即狄利克雷（剩餘）特徵標與狄利克雷L函數，奠定了解析數論的基礎。

解析數論是在初等數論無法解決的情況下發展起來的，因為，如果有了一個可以表達所有素數的素數普遍公式，一些由解析數論範圍的內容，就自動轉到初等數論的範圍內。例如孿生素數猜想以及哥德巴赫猜想。

聯繫數論和複變函數論的橋樑是所謂的佩隆公式(Peron)。很多數論問題可以歸結為某類求和函數的估計問題，而利用佩隆公式，就可以將求和函數的估計轉變為某類複變函數的零點、極點的分佈情況的估計。 大多數數論問題最終都能歸結為L函數的性質討論。

令π（x）表示不超過x的素數的個數，關於π（x）的研究是素數論的中心問題，黎曼在數論中引入複變函數ζ(s)，稱為黎曼ζ函數（見數論），他對這個函數作了深入的研究，得到了許多重要結果。特別是 ，他建立了一個與ζ（s）的零點有關的表示π(x）的公式，因此研究素數分佈問題的關鍵在於研究ζ（s）的性質特別是它的零點的性質。這樣，黎曼開創瞭解析數論的一個新時期。黎曼提出一個猜想：ζ(s)的所有復零點都在直線Res=1/2上，這就是所謂黎曼猜想。它是尚未解決的最著名的數學問題之一。

1896年，J.阿達馬與C.J.dela瓦萊-普桑用解析方法同時並且相互獨立地證明了素數定理即當x→∞時，π（x）～.x/lnx （這個問題最早由高斯提出），從此解析數論開始得到迅速發展。1949年，A.塞爾伯格與P.愛爾特希分別給出了對於素數定理的一個十分初等的分析證明，當然它是很複雜的。

解析數論起源於素數分佈、哥德巴赫猜想、華林問題以及格點問題的研究、解析數論的方法主要有復變積分法、圓法、篩法、指數和方法、特徵和方法、密率等。 ^[1] 

歐拉恆等式是數論中最重要的定理之一，是算術基本定理的解析等價形式，揭示了素數p和自然數n之間的積性關係。他還提出了母函數法，利用冪級數來研究整數分拆，這導致圓法和指數和方法的產生。其後，P.G.L.狄利克雷應用分析方法於1837年解決了首項與公差互素的算術級數中有無限多個素數的問題，又於1839年推證出二次域的類數公式。他創立了研究數論的兩個重要工具，即狄利克雷(剩餘)特徵標與狄利克雷l函數，奠定了解析數論的基礎。

1859年，（G.F.）B.黎曼發表了一篇關於不大於x的素數個數π(x)的著名論文《論不大於一個給定值的素數個數》，這是他在數論方面公開發表的惟一的文章。他把恆等式的右邊的級數記作ζ(s)，所不同之處是把s看作復變數。現在稱ζ(s)為黎曼ζ函數。他認為素數性質可以通過複變函數ζ(s)來探討，並對複變函數ζ(s)做了深刻的研究，得到許多重要結果。特別是他建立了一個與ζ(s)的零點有關的表示π(x)的公式。因此研究素數分佈的關鍵在於研究複變函數 ζ(s)的性質,特別是ζ(s)的零點性質。這一傑出的工作，是複變函數論的思想和方法應用於數論研究的結果。黎曼開創瞭解析數論的新時期，也推動了單複變函數論的發展。在文章中他提出了一個猜想：ζ(s)的所有復零點都在直線 Res=1/2上。這就是所謂黎曼猜想。它是至今沒有解決的最著名的數學問題之一。它的研究對解析數論和代數數論的發展都有極其深刻的影響。 ^[1] 

1896年，J.（-S.）阿達馬與C.de la瓦萊-普桑嚴格地按照黎曼提出的方法和結果，用整函數理論，同時證明了素數定理：當x→∞時,π(x)～x(lnx)-1。從此解析數論開始得到迅速發展，而在此以前的30年中卻無顯著進展。 　

在數論中應用分析方法，大致有兩種情況：一是數論問題本身不涉及分析概念。這類問題又可分為兩種情形，或者有一些問題不應用分析方法就不能解決，例如，上述的狄利克雷的兩個工作、三素數定理（見數論、堆壘數論）、華林問題；或者有一些問題應用分析方法可使證明簡單、可以對問題做定量研究，例如，應用母函數法對整數分拆的一些恆等式的證明、歐拉證明素數有無窮多個的分析方法導致H.默滕斯證明了關於素數平均分佈的三個定理、堆壘數論的許多問題引入分析方法證明解的存在性，得出解數的漸近公式或上下界估計。二是數論問題本身必須用分析概念才能表達清楚。例如，關於素數定理,即不大於x的素數個數π(x)等於多少的問題（見素數分佈）。此外，利用分析概念還可提出新的數論問題，例如各種數論函數的階估計及均值估計（見格點問題）。

解決一個數論問題需要用到多深的分析工具，或者能否不用分析工具。這也是數學家努力為之探索的問題。例如，在1949年A.賽爾伯格與P.愛爾特希不利用ζ函數，且除了極限、e^x和lnx的性質外,也不需要其他的分析知識，給出了素數定理一個十分初等的分析證明。當然它是很複雜的。

解析數論起源於素數分佈、哥德巴赫猜想、華林問題以及格點問題的研究。解析數論的方法主要有復變積分法、圓法、篩法、指數和方法、特徵和方法、密率等。模形式論與解析數論有密切關係。 ^[1] 

解析數論，一直以來有兩大問題，素數方程與L-函數。

素數，即我們中小學學到的質數，從乘法角度講，相當於構成整數的“原子”。Goldbach猜想，即是一種素數方程問題，即方程的解集在素數集合裏考慮。

Fields獎得主Bombieri在大篩法方面做出了重要工作，從而給陳景潤等一批中國數學家帶來機會，先是潘承洞解決了1+5型問題，王元解決2+3型的同時構造出了後續攻擊路線的解決框架，包括1+4和1+3，最後由陳景潤解決了1+2型問題，一直到現在都無法改進，是中國數學家目前為止最拿得響的工作，因為目前誰也做不出最難的1+1型。

素數方程方面，1998年Fields獎得主Gowers獲獎之後，緊接着在整數方程做出了開創性的工作，然後由Terence Tao（陶哲軒）和Ben Green推廣到素數方程方面，這個推廣，很不平凡，陶哲軒獲得了2006年Fields獎。

Gowers-Tao-Green的思想，將素數方程做了系統的突破，可以解決絕大多數的線性方程組問題，唯獨不能攻擊Goldbach猜想。

素數方程方面，一直以來有兩大方法：篩法和圓法。前者自古希臘時期就被發現，陳景潤的工作，就是動用此法。圓法，則是英國劍橋的Hardy-Littlewood-Ramanujan發明，至今也應用了90多年了。

Gowers-Tao-Green，其價值地位相當於第三種方法出世，正是因為增加了新的理解，才有可能得到新的突破性結果。Gowers-Tao-Green增加的是哪種新思想，這種新思想，除了素數方程的數論問題之外，亦很可能對其他數學領域也產生深刻影響。

經典解析數論在素數方程方面的研究思路是：

A-Step 1. Summation Formulas (各種求和公式)

A-Step 2. Equations Detect (方程探測)

一般地説，

-函數來源由兩類組成：算術L-函數和自守L-函數。這兩者又是密切聯繫在一起的，根據羅伯特·朗蘭茲的猜想，籠統地説， 一切有意義的L-函數都來自自守L-函數。

簡單地説，

同樣地，狄利克雷在研究算術級數中的素數分佈時，引入了Dirichlet L-函數：

Dedekind zeta-函數：設

為一代數數域，

橢圓曲線的Haass-Weil L-函數：設

為一非奇異的橢圓曲線

定義

為曲線在有限域

上的解，設

，則下面的級數稱為關於曲線的Haass-Weil L-函數

阿廷L-函數：設

是一個有限維的伽羅瓦表示，其中

為一代數數域，

全純模形式的L-函數，Maass L-函數，標準L-函數等等。

根據羅伯特·朗蘭茲在國際數學家大會上的報告所指，研究一個L-函數主要有三部分內容：

1.解析延拓

L-函數的解析延拓和函數方程這是最基本的一部分。對於一般的自守L-函數這是較容易得到的， 但是對算術的L-函數這一部分並不是容易得到的。例如，對於Haass-Weil L-函數，這部分就是谷山-志村猜想，該猜想一部分就能推出費爾馬大定理。關於阿廷L-函數的全純解析沿拓的阿廷猜想也是數論中重要的未知問題。

對於數學對象

的L-函數，我們定義其的gamma因子為 ^[2] 

其中

為復參數。

定義下面關於

的完全

-函數

那麼，一般地我們有函數方程

其中

為模為1的複數，

為關於

的對偶對象。

2.零點的分佈

非零區域：如黎曼zeta函數的目前最好的非零區域為

黎曼猜想和廣義黎曼猜想問題：

在假設黎曼猜想下，零點虛部的分佈問題與隨機矩陣的聯繫等等。

3.特殊點的值

中心值，臨界點，整點的值，極點的留數等。這裏面也有很多猜想，像BSD猜想，類數問題，Deligne 猜想，Beilinson 猜想，Goldfeld猜想。其實往往我們重要的不僅是關心它具體有多大，而是關心的這個量裏面隱含着什麼樣的算術意義。像Dedekind zeta 函數在s=1處的留數，裏面包含了一個數域的很多不變量：類數，判別式，regular等；BSD猜想就是Haass-Weil L-函數在中心點的的階就是該橢圓曲線的秩！ ^[3]